Практическое занятие №15 Тема: Интерпретации. Виды формул

Продолжительность 2 часа

Цель: рассмотреть интерпретации формул с одно- и двухместными предикатами на одноэлементном и двухэлементном множествах, научиться находить тождественно истинные и ложные предикаты.

Задачи. 1. Упражнение 9.30 (а)-(д) на стр. 184 книги [2].

2. Упражнение 9.31 (а)-(д) на стр. 185 книги [2].

3. Упражнение 9.35 (а)-(д) на стр. 188 книги [2].

Указания к решению задач.

1. (а) Решение. Предикаты P(x) и P(y) при интерпретации I с основным

множеством {a} и с отношением P_I обращаются в одно и то же высказывание P(a), предикат P(x)P(y) – в истинное высказывание P(a)P(a).

2. (а) На двухэлементном множестве {a,b} предикаты P(x) и P(y) могут обращаться в различные высказывания P(a) и P(b).

Самостоятельно. 1. Упражнение 9.30 (е)-(и) на стр. 184 книги [2].

2. Упражнение 9.31 (е)-(и) на стр. 185 книги [2].

3. Упражнение 9.35 (е)-(м) на стр. 188 книги [2].

Практическое занятие №16 Тема: Запись математических предложений на языке логики предикатов

Продолжительность 2 часа

Цель: научиться решать задачи на запись и чтение формул.

Задачи. 1. Упражнение 10.4 (а)-(д) на стр. 205 книги [2].

2. Упражнение 10.7 (а)-(д) на стр. 207 книги [2].

3. Упражнение 10.8 (а)-(д) на стр. 207 книги [2].

Указания к решению задач.

Задачи. 1. Посмотреть образец решения 10.4 (к) на стр. 206 книги [2].

2. Посмотреть образец решения 10.7 (л) на стр. 207 книги [2].

3. Посмотреть образец решения 10.8 (л) на стр. 207 книги [2].

Самостоятельно. 1. Упражнение 10.4 (е)-(к) на стр. 205 книги [2].

2. Упражнение 10.7 (е)-(л) на стр. 207 книги [2].

3. Упражнение 10.8 (е)-(л) на стр. 207 книги [2].

Практическое занятие №17 Тема: Свойства обобщений и подтверждений

Продолжительность 2 часа

Цель: рассмотреть основные свойства кванторов, научиться решать задачи на логически общезначимые формулы.

Задачи. 1. Упражнение 9.43 (а)-(д) на стр. 191 книги [2].

2. Упражнение 9.44 (а)-(д) на стр. 193 книги [2].

3. Упражнение 9.45 (а)-(д) на стр. 193 книги [2].

Указания к решению задач.

Задачи. 1. Посмотреть образец решения 9.43 (к) на стр. 192 книги [2].

2. Посмотреть образец решения 9.44 (л) на стр. 193 книги [2].

3. Посмотреть образец решения 9.45 (л) на стр. 193 книги [2].

Самостоятельно. 1. Упражнение 9.43 (е)-(л) на стр. 192 книги [2].

2. Упражнение 9.44 (е)-(л) на стр. 193 книги [2].

3. Упражнение 9.45 (е)-(л) на стр. 193 книги [2].

Практическое занятие №18 Тема: Логически общезначимые формулы

Продолжительность 2 часа

Цель: закрепить умение работать с формулами с кванторами, решать задачи логически общезначимые и выполнимые формулы.

Задачи. 1. Докажите, что формула (xAxB)x(AB) общезначима (для краткости предполажим, что A есть предикат P(x) и B есть предикат Q(x)).

2. Упражнения 1-2 на стр. 63 по книге [1].

Указания к решению задач.

1. Решение. Докажем методом от противного. Допустим, что ((xAxB)x(AB))_IЛ в некоторой интерпретации I. Тогда:

(xAxB)_IИ и (x(AB))_IЛ по определению импликации,

(P(i)Q(i))_IЛ для некоторого iI по смыслу квантора общности,

(P(i))_IИ и (Q(i))_IЛ по определению импликации,

(xA)_IИ по смыслу квантора существования,

(xB)_IЛ по смыслу квантора общности,

(xAxB)_IЛ по определению импликации.

Получается противоречие: (xAxB)_IИ и (xAxB)_IЛ.

Значит, данная формула не может быть ложной в произвольной интерпретации I. Она истинна в любой интерпретации I, т.е. общезначима.

Задача для самостоятельной работы (по вариантам).

Докажите, что формула общезначима (для простоты предполагаем, что A есть предикат P(x) и B есть предикат Q(x)):

вариант	формула
1	(xAxB)x(AB)
2	(xAxB)x(AB)
3	(xAxB)x(AB)
4	x(AB)(xAxB)
5	x(AB)(xAxB)
6	(xAxB)x(AB)
7	x(AB)(xAxB)
8	x(AB)(xAxB)
9	x(AB)(xAxB)
10	x(AB)(xAxB)