45,46) Логарифмические частотные характеристики

Описанные выше частотные характеристики часто изображают не в линейном (см. рис. 8.4), а в логарифмическом масштабе, когда по оси абсцисс откладывают не саму частоту, а ее десятичный логарифм. На оси ординат логарифмических частотных характеристиках принято откладывать значение 20 lg K. Эта величина оценивается в децибелах. При этом значению модуля K = 10 отвечает значение рассматриваемой функции в 20 дБ. Приведем несколько часто встречающихся на практике соотношений:

K . . . . . . . .	10	100	1000	10^n	2		1,12
20 lg K, дБ	20	40	60	20n	6	3	 1

Положительные значения 20 lg K отвечают усилению сигнала данной цепью, отрицательные — его ослаблению. Фазовый сдвиг  на фазочастотных характеристиках откладывают в линейном масштабе.

Логарифмический масштаб изображения частотных характеристик позволяет отразить более широкий диапазон значений частоты. Хотя при этом на характеристике отсутствует значение, отвечающее нулевой частоте, определение ее асимптотики при   0 не вызывает затруднений. Еще одним преимуществом логарифмического масштаба по оси ординат является то, что при анализе цепей, состоящих из каскадно соединенных звеньев, перемножению модулей передаточных функций отдельных каскадов отвечает суммирование логарифмов модулей — более наглядная и простая при графических построениях операция. И наконец, зависимости 20 lg K = f(lg ) имеют более простой асимптотический характер, чем зависимости K(). Последнее связано с тем, что поскольку передаточная функция любой цепи выражается рациональной дробью, ее асимптотами при   0 и    являются степенные функции ⁿ. Так как при переходе к логарифмам такая функция переходит в линейную, то асимптоты логарифмических амплитудных характеристик при   0 и    являются прямыми. Так, для цепи рис. 8.3 при   0 асимптотика K() имеет квадратичный характер K() ~  ²LC, чему отвечает начальная часть графика (см. рис. 8.4, а), имеющая вид параболы. При переходе к логарифмам имеем 20 lg K = 20 lg ²LC = 40 lg  + 20 lg LC. Отсюда следует, что при изменении частоты в десять раз (такое изменение называется декадой) изменение ординаты на логарифмической амплитудной характеристике (ЛАЧХ) составит 40 дБ. Таким образом, начальная часть ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном 40 дБ/дек. При    K  1, и асимптотическая ЛАЧХ имеет нулевой наклон.

Рис. 8.6.

Передаточная функция по напряжению RC-цепи (рис. 8.6, а) равна

Отсюда нетрудно найти модуль

После перехода к логарифмическим единицам получим

При    0 ЛАЧХ (рис. 8.6, б) имеет горизонтальную асимптоту, а при    , когда 20 lg K   – 20 lg (RC) асимптота имеет отрицательный наклон 20 дБ/дек. Следует обратить внимание на то, что в рассматриваемом случае замена всей ЛАЧХ ее асимптотическими ветвями приводит к относительно небольшой погрешности. Нетрудно убедиться, что зависимость K(, построенная в линейном масштабе, будет иметь более сложный вид. 

Таким образом, использование логарифмического масштаба при построении амплитудно-частотных характеристик требует меньшего объема вычислений, так как их асимптотические ветви имеют более простой вид, чем асимптоты характеристик, построенных в линейном масштабе. 

45) Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.

[править]

АЧХ в теории автоматического управления

АЧХ в теории линейных стационарных систем означает зависимость модуля передаточной функции системы от частоты. АЧХ показывает во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот.

На графике АЧХ по оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат отношение амплитуд выходного и входного сигналов системы. Обычно для частоты используется логарифмический масштаб, так как исследуемый диапазон частот может изменяться в достаточно широких пределах (от единиц до миллионов Гц или рад/с). В случае когда логарифмический масштаб используется и на оси ординат, АЧХ превращается в логарифмическую амплитудно-частотную характеристику. ЛАЧХ получила широкое распространение в теории автоматического управления в связи с простотой построения и наглядностью при исследовании систем управления.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) — частотная зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами.

• Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.

Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих при их прохождении по цепи

[править]

Определение ФЧХ

• В теории управления ФЧХ звена определяется из равенства её тангенса отношению мнимой части АФЧХ к действительной:

Логарифмические частотные характеристики

При практических расчетах АСР удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (логарифмические частотные характеристики – ЛЧХ). Они характеризуются большей линейностью и на определенных участках изменения частот могут быть заменены прямыми линиями и в целом представлены ломаными линиями. Причем отрезки прямых в большинстве случаев можно построить при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, т.к. умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот ЛЧХ принимается декада. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением   и его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

, дБ,                             (86)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (0,1 бела), сокращенно дБ (рис. 23).

Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше мощности другого в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б (lg10 = 1).

Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды  ,то

или

.

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс.

46)=45 ;)