5.Интегрирование по частям
Теорема:
Если функции
U(x)
и (x)
непрерывны на некотором промежутке,
диффер. в его внутренних т. и на этом
промежутке существует:
то на нем существует и
причем:
-
формула интегрирования по частям.
Док – во: В условиях теоремы по правилу дифференцирования произведения имеем:
D(U*V)=UdV + VdU, и поэтому UdV = d(U*V) – VdU
Интеграл
от правой части последнего равенства
существует т.к. существует
(по условию теоремы) и по свойствам
неопределенного интеграла
,
тогда и существует интеграл от левой
части этого равенства, что означает:
В силу произ. сonst это равенство имеет место.
Пример
Формулы которые интегрируются по частям:
Ln, arcsin, arcos, arctg;
Многочлены и рациональные функции.
1. Многочлены в комплексной плоскости. 2. Корни
многочлена. 3. Теорема Бизу и основная теорема алгебры.4.
Разложение многочлена с действительными
коэффициентами на линейные и квадратные множители.
Рассмотрим многочлены степени n c комплексными
коэффициентами:
Z= x + iy - комплексные переменные
Теорема о равенстве многочленов:
Для совпадения двух многочленов, при всех значениях Z
необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые
степени и равные соответственные коэффициенты.
Теорема о представлении многочленов:
Пусть
многочлены с комплексными коэффициентами, при чём m < n,
тогда существует единственный многочлен S(Z) в степени
n-m и единственный многочлен R(Z) степени меньше чем m,
такие что Pn(Z) представлено в виде:
Pn(Z) = Qm(Z)Sk+Rе(Z), для любых Z
где 0Јe<m; m + k = n
Для практического нахождения S(Z) и R(Z) многочлен Pn(Z)
делят уголком на Q(Z)
Опр. Комплексное число Z0 называется корнем многочлена
Pn(Z),(если Pn(Z0) тождественный 0)
Теорема Бизу.
Остаток от деления многочлена Pn(Z) на двучлен Z - Z0
равен Pn(Z0), отсюда следствие:
Число Z0 является корнем многочлена Pn(Z), тогда и только
тогда, когда этот многочлен делится без остатка на Z - Z0.
Опр: Если многочлен Pn(Z) делится без остатка на (Z - Z0)к,
(К>0) и не делится на (Z - Z0)к+1 , то число Z=Z0 является
корнем многочлена кратности к.
Имеет место следующая теорема алгебры:
Всякий многочлен n-степени имеет по крайней мере один
комплексный корень.
Из её вытекает следствие: - многочлен n-степени Pn(Z) c
неравными нулю старшими коэффициентами имеет n-
комплексных корней с учётом кратности. Иначе говоря
Pn(Z) представлено в виде произведения:
Z1,Z2,..Zs различные комплексные корни с
соответствующими кратностями.
Пусть теперь все коэффициенты Pn(Z) действительные
числа в этом случае можем доказать, что если число Z0
является корнем кратности к, многочлена Pn(Z) (с
действительными коэффициентами), то сопряжённое ему
число Z0(c чертой), также является кормен многочлена
кратности к.
Отметим, что произведение
всегда является многочленом относительно Z c
действительными коэффициентами.
Действительно. Пусть
Отсюда следует, что для всякого многочлена степени n, с
действительными коэффициентами, справедливо
разложение на множители.
Заменим Z на x, чтобы подчеркнуть что находимся в
действительной плоскости.
Разложение многочлена единственно, т.к. оно определяется
однозначно, корнями этого многочлена и их кратностями.
Все коэффициенты Сn, a1, а2..аr, р1, q1, р2,q2..рs, qs -
действительны; a1, а2..аr - действительные корни
многочлена Рn(x). А каждому квадратному трёхчлену:
x2+pjx+qj - соответствует пара комплексно-сопряжённых
корней.
Разложение правильных рациональных дробей на
элементарные.
Пусть P(x) и Q(x) - многочлены с действительными
коэффицинтами. Определение:
Рациональная дробь P(x)/Q(x) - называется правильной,
если степень многочлена P(x) меньше степени многочлена
Q(x). Если дробь не явл. правильной, то произведя деление
числителя на знаменатель по правилу деления многочлена,
её можно представить в виде:
Имеет место следующая теорема:
Пусть P(x)/Q(x) - правильная рациональная дробь, P(x) и
Q(x) -многочлены с действительными коэффициентами,
если
где а1,а2,..,аr - попарно различные действительные корни
многочлена Q(x) в кратности a1,a2,..,ar
где Zj, Zj(c чертой) - попарно различные для всех j
комплексные корни многочлены кратностью bj. Тогда
существуют действительные числа
Без ограничения общности, можно считать, что старший
коэффициент у многочлена Q равен 1.
Рациональные дроби вида
где А, M, N, a, p, q - действительные числа, (р2/4 - q)<0;
называется элементарными рациональными дробями.
Таким образом теорема утверждает, что всякая
правильная рациональная дробь может быть разложена на
сумму элементарных рациональных дробей.
Пример:
Для определения коэффициентов: Аiai; Mjbj;
Njbj; существует несколько способов:
1. Способ соответствующих коэффициентов; приводим к
общему знаменателю правую часть равенства, и
приравниваем многочлены стоящие в числителях.
Получаем систему n-уравнений, которая имеет решение в
силу приведённой теоремы.
Пример:
2. Способ частных значений.
Многочлены числителя перераспределяются по степеням x,
придавая х подходящие конкретные значения, получаем
систему для определения коэффициентов:
| x = 3; B = 1
| x = 2; A = -1
3. Способ произвольных значений, в этом способе
используют тождества полученные дифференцированием
по х равенства, в котором приравнены числители.
Интегрирование элементарных рациональных дробей
Таким образом имеет место следующая теорема.
Теорема: Неопределённый интеграл от любой
рациональной дроби на всяком промежутке, на котором
знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и
выражается через элементарные функции, а именно он
является алгебраической суммой суперпозиций
рациональных дробей, arctg и натурального логарифма.
Алгоритм вычисления интеграла от рациональных
дробей.
1.Выделение целой части;
2.Полученную правильную дробь раскладывают на
элементарные;
3.Вычисляют интеграл от каждого слагаемого, этот метод
является общим.
Интегрирование некоторых иррацинальностей
Функция вида R(U1, U2,..Un, ) = P(U1, U2,..Un, ) / (U1, U2,..Un,
)
где P и Q - многочлены от переменных U1, U2,..Un, т.е =
функции вида
S ak1,k2..kn , Uк11, Uк22,..Uknn
где k1+k2+..+kn < k, называется рациональные функции от
U1,U2,..Un
Если в функции переменные U1, U2,..Un в свою очередь
является функциями от X т.е
Если в ф. (*) переменные u1…..un,являются ………………функциями, то получающаяся сложная функция, называется рациональной функцией (относительно) от элементарных тригонометрический функции.
Положим, что в ряде случаев интегралы от этих функций приводятся к интегралам от рациональных функций.