Т.Е. Геометрический смысл
Должен быть рисунок.
Т.Е площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (b-a) и высотой f(ξ)
Д – во:
ЗАМЕЧАНИЕ: Д – во проводим только в случае, когда g(x)≥0
Умножаем неравенство (1) на g(x) : mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)
Интегрируем это неравенство в силу свойств определённого интеграла по промежутку [a,b]
Если:1)
То
Тогда интеграл в обоих частях равенства (1) существует и =0, равенство (2) справедливо при любом μ , в частности при μ:
m≤f(x)≤M
2) Если
то при g(x)≥0 :
разделим неравенство (3) на
получим :
Положим ,по определению:
Тогда умножим обе части на
Получим равенство (2) при условии что m≤f(x)≤M
2.8(9).Определённый интеграл с переносным верхним пределом
1.Неприрывность интеграла по верхнему пределу.
Пусть фун. f(x) интегрируема на отрезке [a,b] , тогда она будет интегрируема на любом отрезке ,a≤x≤b
Т.Е. Для любого х имеет смысл интеграл
Рассмотрим фун.
Эта фун. определена на [a,b] и называется интегралом с переменным верхним пределом.
ТЕОРЕМА1:Если фун. f(x) , интегрируема на[a,b] , то F(x) равняется:
Непрерывна на этом [a,b]
Д –во : Пусть х принадлежит[a,b] , х+Δх принадлежит [a,b] . Тогда F(x+Δx) – F(x)=
=ΔF (приращение фун.)
Это есть
Получаем:
Применим к этому интегралу теорему о среднем, тогда ΔF=μΔx , где μ принадлежит:
m≤μ≤M
Устремим Δх→0 , тогда ΔF→0 , а следовательно фун. F(x) будет непрерывна в произвольной точке х на [a,b] т.к. х – произвольная точка то F(x) непрерывна на всём отрезке [a,b] .
Дифференцируемость интеграла по верхнему приделу.
1.Существование первообразной у непрерывной функции.
ТЕОРЕМА: Если фун. f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в точке х0 (х0 принадлежит [a,b] ) то фун.
Дифференцируема в точке х0 и производная в этой точке , будет
F′(x0)=f(x0)
Д –во: Положим , что
Пусть х0 принадлежит [a,b] и x0+Δx принадлежит [a,b]
Заметим , что
Оценим разность
По свойствам это не превосходит
Пусть задана ε > 0 , и т.к. f(x) непрерывна в точке х0 , то существует δ>0 , такое что как только |t-x0|<δ , так сразу |f(t)-f(x0)|<ε .
Выберем δ так , чтобы модуль Δх был меньше δ , тогда имеем |t-x0|≤|Δx| и тогда следует:
Теорема.
Если ф-я интегрируема на отр. и непрерывна в его внутр т. то на этом отр. существует её первообразная
Следствие.
Непрерывная на отрезке ф-я имеет первообразную.
Док-во.
Если ф-я f(x) интегрируема на отр. [а,b] и непрерывна на интервале (a,b) то согласно T1 и Т2 её первообразной на отр. [а,b] явл. например ф-я:
Действительно, т.к. ф-я интегрируенма на отр. [а,b] и непрерывна на интервале (a,b) то по Т2 F(x) диф-ма и F(x)=f(x)
На концах [а,b] по T1 F(x) непрерывна, следовательно F(x) – первообразная по опред.
Вопрос №10Формула Ньютона-Лейбница
Теорема.
Пусть
ф-я f(x) непрер на [а,b], если ф-я является
произвольной её первообразной на этом
отрезке, то
Док-во.
Положим
F(x) – первообразная для f(x) на [а,b], таким образом F(x) и R(x) – 2 первообр для одной и тойже ф-ции f(x) на [а,b], поэтому F(x) = R(x) + C; если x[а,b], а С – некоторая произв. Const. т.е.
при Х=а С = -R(a), полагая x=b
Значит
Вопрос №11
Формулы замены переменной в и интегрирование по частям.
Теорема.
Пусть 1. ф-я f(x) непрерывна на a,b 2. ф-я x=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на интервале (,), причём для всех положит из интерв. (,) (t), тогда если 0 из интервала (,), 0(,); 0 =(0), 0 =(0), то интеграл
(1)
Формула замены переменной в опред
интеграле
Док-во.
По условию f(x) заведомо определена на множестве значений ф-ции (t), поэтому имеет смысл сложная ф-ция f((t)). В силу условий теоремы подынтегральная ф-ция в обеих частях равенства (1) непрерывные ф-ции, поэтому интегралы обеих частей рав-ва (1) существуют.
Пусть ф-я R(x), какая-нибудь первообразная f(x) на интервале (a,b).
Тогда для т t(,) имеет смысл сложная ф-ция R((t)), кот является первообразной для ф-ции f((t)) (t).
Действительно ф-я непрерывна, кроме того R((t))=R((t))(t)=f((t))(t)
По формуле Ньютона-Лейбница
С другой стороны
По условию теоремы 0 =(0), 0 =(0), тогда
Вопрос№12