Тема 2 вопрос 3 Сумма Дарбу. Условия существования интеграла.

Пусть на [a,b] задана ограниченная функция f(x) . Введём разбиение:

И пусть mi – инфинум функции f(x) на промежутке [xi,xi+1]

Mi – супренум ;

И наряду с интегральной суммой σR рассмотрим сумму SR:λ

Которая называется соответственно нижнею и верхнею суммами Дарбу

Критерии существования интеграла

ТЕОРЕМА: Для того чтобы на некотором отрезке ,функции f(x) была интегрирована необходимо и достаточно чтобы :

Где ωi=Mi-mi , называемое колебанием функции f(x) на [xi,xi+1]

Интегрируемость непрерывных монотонных функций

ТЕОРЕМА: Если функция f(x) непрерывна на [a,b] , то она интегрируема на этом отрезке .

Доказательство: т.к. функция f(x) непрерывна на [a,b] , то она ограничена и равномерно непрерывна на [a,b] и следователь но для любого ε >0, существует δ(ε)>0 , что как только отрезок [a,b] разбит на части с λR< δ то все колебания функции ωi<ε. Следовательно:

Т.к. b-a=const , а ε произвольно мало , то :

В силу интегрируемости функция f(x) интегрируема

ТЕОРЕМА: Монотонная на отрезке функция , интегрируема на нём.

ЗАМЕЧАНИЕ: Монотонная фун. Может иметь конечное число точек разрыва.

2.5(6).Свойства определенного интеграла

ТЕОРЕМА 1:Пусть М – const ,то

До-во: Интегральная сумма фун.f(x)=M для любого разбиения R[a,b]

ТЕОРЕМА 2: Если фун.f(x) интегрируема на каждом из отрезков[a,c] u [c,b], то она интегрируема на всём [a,b] , причём :

Д – во: зададим произвольное разбиение [a,b) по Rn , однако такое что одна точек этого разбиения R индуцирует [a,c] u [c,b]

И

Пусть λR→0 , тогда и подавно λR1→ и λR2→0

Следовательно:

Это равенство верно для любых разбиений, содержащих точку с .Однако можно доказать, что оно будет верно для любых разбиений.

Следовательно, интеграл от [a,b] фун. f(x) существует и равен сумме интегралов .

ТЕОРЕМА 3: Если фун. f1(x) и f2(x) интегрируема на [a,b] ,А,В – произвольные числа то

В частности , если В=0 , то

До – во: Для произвольного разбиения имеем

:

Т.к. фун. f1 и f2 интегрируемы , то приделы равенства стоящие в правой части равенства существуют , а следовательно существует придел и левой части последнего равенства а следовательно функция: Af1(x)+Bf2(x) интегрируемы

ЗАМЕЧАНИЕ: Положим по определению

Если для любого х принадлежащего [a,b] выполняется неравенство

То φ(x)‹Ψ(x) выполнимого неравенства :

Перейдём к пределу при Δх→0

И получим требуемое неравенство .

ТЕОРЕМА: Справедливо неравенство :

При условии а≤b

Если а не обязательно меньше b , то имеет место неравенство:

ТЕОРЕМА: Если фун. f(x) интегрируема на [a,b] не отрицательном , и а<b , то

Д –во очевидно из интегральной суммы

ТЕОРЕМА: Если f(x) интегрируема на отрезке [a,b] удовлетворяет неравенство:

m≤f(x)≤M , при условии любого х принадлежащего [a,b] , а<b , то имеет место

Д –во :

Переходим к пределу

2.7.Теорема (о среднем значении определённого интеграла):

1. Пусть

1. f(x) интегрируема на [a,b]

2. f(x) удовлетворяет неравенству: m≤f(x)≤M , для любого х принадлежащее [a,b] (1)

3. Фун . g(x) не …. Знака на отрезке [a,b]

Тогда существует такое число μ удовлетворяющее неравенству m≤f(x)≤M и интегрируема :

Фор. 1 ср. значение определённого интеграла

СЛЕДСТВИЕ: фор. 2 при дополнительном представлении о неприрывнасти фун. f(x) на [a,b] , существует такая точка ξ из интервала (a,b), что

В частности при g(x) тождественно равным нулю на [a,b] , остаётся

↑ ↑

интегральная теорема о среднем ,