Вопрос №22:несобственные интегралы
1) Интегралы первого рода.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
Определение:
Пусть функция f(x)
определена на промежутке [a,
+)
и интегрируема в любой конечной его
части [a,
A]
так, что
имеет смысл при a.
Предел этого интеграла конечный или
бесконечный при А,
называется несобственным интегралом
от функции f(x)
и обозначается символом:
(1)
В случае, когда этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой в бесконечном промежутке. Если предел (1) бесконечен или вообще не существует, то говорят, что интеграл (1) вообще расходится. Пример:
1.
предел конечный, интеграл сходящийся;
2.
a>0, пер
тогда
Второе:
интеграл
расходящийся
Аналогично определяется
В последнем случае если, хотя бы один из интегралов стоящих в правой части равенства расходящийся, то интеграл соящий в левой части равенства тоже будет расходящимся.
Применение основной формулы интегрального исчисления
Пусть функция f(x) определена в промежутке [a, +) и интегрируема в каждой его конечной части [a, A]. Если для f(x) при этом существует первообразная функция F(x), то по формуле Ньютона – Лейбница
тогда
несобственный интеграл (1) существует
тогда и толбко тогда, когда существует
конечный предел
(
тогда
Под символом F(+) понимаем limF(A).
Аналогично
где
F(-)=
Вопрос №простейшие свойства несобственных интегралов
Линейность несобственного интеграла;
Если
и
сходящиеся, то для любых чисел ,
R
сходящиеся и несобственный интеграл
=
при
чем он равен
Доказательство следует из определения и свойств пределов и определения интегралов.
Так как интегралы сходящиеся, то это значит, что пределы существуют.