Теорема об интегрировании по частям

Пусть ф-ции U=U(x) и V=V(x)непрерывны вместе с производными на a,b, тогда

Док-во.

Имеем:

Вопрос№13

Вычисление площади плоских фигур

Возьмём произвольную фигуру Р на плоскости, представляющую собой ограниченную и замкнутую область, её границу или контур (К) всегда будем представлять в виде замкнутой кривой.

Рассмотрим возможные многоугольники (B), целиком содержащие в себе (Р) и (А), целиком содержащиеся в (Р). Обозначим А и В площади этих многоугольников (А<В).

Мн-во чисел{А}, ограничено сверху любым числом В, и поэтому имеет такую верхнюю границу, обозн. Р_*<В

Точно также {В}  мн-во чисел, ограничено снизу и имеет такую нижнюю границу Р^*>Р_*

Определение.

Если обе границы Р*=sup{A}и P*=inf{B}, совпадают, то их общее значение называется площадью фигуры Р. В этом случае фигуру Р называют квадрируемой.

Теорема1.

Для существования площади Н.иД., чтобы для любого >0, нашлись 2 многоуг (А) и (В), для которых В-А<

Теорема2.

Для того чтобы фигура Р была квадрируема Н.иД., чтобы для любой точки 2 последовательности многоугольников ((А_n)) и ((B_n)), соответственно содержащиеся в Р и содержащие Р, площади

которых имели бы общий предел.

Этот предел будет очевиден площади фигуры Р.

Существенную роль в вопросе квадрируемости области играет граница этой области.

Будем говорить, что кривая имеет площадь =0, если её можно покрыть многоуг областью, сколь угодно малой площади.

Теорема3.

Для того, чтобы плоская фигура была квадрируема, Н.иД., чтобы её граница имела площадь =0. Можно показать, что этим св-вом обладают непрерывные кривые выраженные явно ур-ем y=f(x), x=g(y), отсюда достаточное условие кв-ти.

Теорема4.

Если фигура Р ограничена несколькими непрерывными кривыми, каждая из которых выражается явным ур-ем y=f(x), xa,b; или x=g(y), yc,d; f и g непрерывны, то эта ф-я квадрируема.

Замечание. Сумма 2 кв-емых ф. и пересечение кв-мых ф тоже кв-мая ф.

Выражение площади через интегралы

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком y=f(x), где f(x) положит и непрерыв на [a,b прямыми x=a, x=b и отрезком оси ab. Фигура квадрируема, т.е. площадь существует.

Разобьём отрезок [a,b произвольным образом на части a=x₀<x,<x₂<x₁=b и составим интегральную сумму вида.

Где m_i  наименьшее значение ф-ции f(x) на промежутке x_i, x_i+1

Тогда

Описанные

Вопрос№14

Площадь криволинейного сектора (площадь в полярных коорд-ах)

Пусть задана ф ограниченной кривой, заданная ур-ем =(), где ()  положит и непрер ф-я на [,) и лучами =, =

С уществование площади обеспечено св-вами контура

Разобьём [,] на части ₀₁₂…_n= и впишем и опишем ступенчатые фигуры, состевленные из круговых секторов.

Пусть m_i=inf (), на (_i, _i+1)  min; M_i=sup (), здесь же  max

Перейдём к пределу max 0, обе суммы имеют пределом интеграл

Вопррос№15

Объём тела вращения.

Пусть L кривая, описываемая в прямоугольной системе координат Oxyz, непрерывной положительной ф-цией, y=f(x), xa,b

Вычислим объём тела, ограниченного плоскостями x=a, x=b и пов-ностью вращения кривой y=f(x) вокруг оси Oх

Произведём разбиение отр [a,b на части ax₀x₁x₂…x_n=b и считая, что элементы объёма тела, ограниченного плоскостями x=x_k, x=x_k+1 приближённо = объёму цилиндра, высотой x_k= x_k+1 - x_k и радиусом y_k=f(x_k). V₁=y²x_k;

Тогда

Замечание. Рассмотрим тело, расположенное между плоскостями x=a, x=b поделим его плоскостями перпендикулярно оси Ox. Пусть

Полученные сечения квадрируемые, т.е. имеют площадь, и пусть площадь соответствующих точек оси Х равна Р(х), где Р(х) непрерыаяфункция. Тогда объем этого тела можно вычислить по формуе:

Вопрос №17: Площадь поверхности вращения.

Пусть L кривая, описываемая в прямоугольной системе координат XY, положительной функцией y = f(x), x  [a,b].

Функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке AB. Требуется вычислить площадь поверхности вращения, образованной при вращении кривой L вокруг оси Ox.

Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками a=x₀<x₁<…<x_n=b. Впишем в кривую ломаную Ln с вершинами в точках x_k и f(x_k). Вычислим площадь поверхности вращения ломаной вокруг оси Ox ( сумма площадей боковых поверхностей усеченного конуса).

Здесь должен быть график кривая f(x),прямые [a,b]

Воспользуемся теоремой Лагранжа. по ней:

Можно показать, что при . Тогда перейдя к пределу мы получим:

Пример: определить площадь поверхности шарового пояса.