Содержание

Введение.…………………………………………………………………….....4

1.Вывод общего уравнения………………………………………………........5

2.Свободные колебания

2.1.Собственные колебания в среде без сопротивления...……...…...6

2.2.Собственные колебания в среде с различными

сопротивлениями.....................................................................................6

3.Вынужденные колебания

3.1.Вынужденные колебания с произвольной вынуждающей

силой…....................................................................................................7

3.2.Гармонические колебания в среде без

сопротивления…………………………...………………………….......9

3.3.Гармонические колебания в среде с различными

сопротивлениями……………………………………………………...10

4.Примеры решения задач…………………………………………………...11

Заключение…………………………………………………………………...14

Список литературы……………………………....……………………….….15

Введение

В данном курсовом проекте мы рассмотрим задачу о свободных (в среде без сопротивления и с сопротивлением) и вынужденных колебаниях (в среде без сопротивления и с сопротивлением, под действием произвольной силы и гармонической силы). А также решим ряд задач на данную тематику.

1. Вывод общего уравнения

Рассмотрим систему, состоящую из тела массы m, подвешенного на пружине длины l с коэффициентом упругости c. Наша цель состоит в том, чтобы найти закон, по которому изменяется положение тела в зависимости от времени. Введём ось координат с центром в точке приложения сил, когда тело находится в состоянии покоя, и направленную вниз.

Рассмотрим первое состояние.

По второму закону Ньютона:

распишем все силы, действующие на

груз:

Теперь рассмотрим второе состояние, когда тело вывели из состояния равновесия. Распишем все силы, действующие

на груз:

В силу известных свойств производных заменим

на и на . И в силу равенства, полученного при рассмотрении первого состояния, получим

(1)

поделив на m неравное нулю и переобозначив константы, получим

(2)

При получим уравнение свободного движения. При получим уравнение вынужденного движения.

2. Собственные колебания

2.1. Собственные колебания в среде без сопротивления

При колебания называются собственными.

Пусть сила сопротивления равна нулю, тогда 2k=0 и уравнение (2) принимает вид

(3)

составляем соответствующее ему характеристическое уравнение

находим его корни

тогда общее решение уравнения (2.1) имеет вид

сделаем замену

и (*)

тогда уравнение движения будет иметь вид

2.2. Собственные колебания в среде с различными сопротивлениями

Пусть сила сопротивления среды не равна нулю, тогда при k>0 тогда уравнение (2) принимает вид

(4)

составим соответствующее ему характеристическое уравнение

(5)

его корни имеют вид

.

Теперь рассмотрим разные случаи в зависимости от изменения k.

1)

тогда общее решение уравнения (4) будет иметь вид

легко видеть, что при стремлении t к бесконечности x стремится к нулю и никаких колебаний не возникает.

2)

тогда

и общее решение уравнения (4) будет иметь вид

Легко видеть, что при стремлении t к бесконечности x стремится к нулю и никаких колебаний не возникает.

3)

тогда корни характеристического уравнения (5)

и общее решение имеет вид

и применяя замену (*) получим

при стремлении t в бесконечность стремится к нулю, а синус ограничен

следовательно, x стремится к нулю. И при данном k возникают затухающие колебания.