3. Вынужденные колебания

3.1. Вынужденные колебания с произвольной вынуждающей силой

Рассмотрим вынужденные колебания с произвольной вынуждающей силой в среде без сопротивления (k=0).

тогда уравнение (2) принимает вид

(6)

решим это уравнение методом Лагранжа.

Из пункта 2.1 нам известно решение соответствующего ему однородного уравнения

Составим систему

выразим из первого уравнения

и подставим во второе

найдём отсюда и

раз t это время, то можно вместо неопределённых интегралов взять интегралы и переменным верхним пределом, тогда общее решение уравнения (6) будет иметь вид

раскроем скобки и внесём тригонометрические функции под знак интеграла

сложим два интеграла по аддитивному свойству и свернём тригонометрическую часть подынтегральной функции как синус разности

сделаем замену (*)

так выглядит уравнение вынужденных колебаний с произвольной вынуждающей силой в среде без сопротивления.

3.2. Гармонические колебания в среде без сопротивления

Пусть , где М>0 тогда уравнение (2) примет вид

(7)

Будем решать это уравнение методом неопределённых коэффициентов.

Запашем формулу частного решения для нашего

где s – кратность числа как корня характеристического уравнения.

Пусть сила сопротивления среды равна нулю(k=0), тогда уравнение (7) будет выглядеть

Из пункта 2.1 нам известно, что корни соответствующего ему характеристического уравнения

Пусть тогда

подставляем в исходное уравнение и находим B и C

отсюда B=0 и

тогда общее решение будет иметь вид

Легко видеть, что при стремлении t в бесконечность x остаётся ограниченным, следовательно, резонанса(неограниченного возрастания амплитуды колебаний) не возникает.

Пусть тогда частное решение будет иметь вид

подставляя в исходное уравнение, заменяя на и приведя подобные получим, что С=0 и , тогда уравнение колебаний будет иметь вид

видно, что при стремлении t в бесконечность x тоже стремится в бесконечность, следовательно, при данном возникает резонанс.

3.3. Гармонические колебания в среде с различными сопротивлениями

Из пункта 2.2 легко видеть, что никогда не будет корнем характеристического уравнения, потому что у всех возможных корней действительная часть не равна нулю. Тогда для любого сопротивления k

частное решение будет выглядеть

и соответственно производные

подставим их в уравнение (7)

собрав все слагаемые с синусом и косинусом, получим

B=0 и при условии, что

запишем общие решения при различных k.

При мы получим

при получим

при также получим

во всех этих случаях резонанса не возникает.

4.Примеры решения задач

№ 18[1, 47c]

Задача.

К пружине подвешен груз весом 3кг. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна увеличению её длины равна 1кг, когда длина увеличивается на 2 см. Найти период колебательного движения, которое получит груз, если его слегка оттянуть книзу и затем отпустить.

Решение.

Масса равна 3кг. Найдём коэффициент упругости

подставим в уравнение колебаний (1), получим

корни соответствующего ему характеристического уравнения

тогда уравнение движения будет выглядеть

отсюда круговой период колебательного движения груза равен

Ответ: .

№ 32[1, 50c]

Задача.

Тело массой 200г подвешено на пружине и выведено из состояния покоя вытягиванием пружины на 2см, после чего отпущено (без начальной скорости). Найти уравнение движения тела, считая, что сопротивление среды пропорционально скорости движения и при скорости 1 см/c сопротивление среды 0,1г. Сила натяжения пружины при растяжении её на 2см равна 10кг.

Весом пружины пренебречь.

Решение.

Найдём коэффициент сопротивления среды

теперь найдём коэффициент упругости

подставим в уравнение колебаний (1), получим

корни характеристического уравнения будут равны

тогда уравнение движения тела будет выглядеть

Ответ:

№ 50[1, 53c]

Задача.

Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью 5 оборотов в секунду вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. В начальный момент на расстоянии 10см от оси внутри трубки находился шарик весом 0,1кг, прикреплённый к оси пружиной. Сила действия пружины на шарик пропорциональна деформации пружины, сила k вызывает изменение длины пружины на 1см. Длина пружины в свободном состоянии равна 10см.

Решение.

В этой задаче мы имеем дело с вынужденными колебаниями с центробежной вынуждающей силой.

где w – это угловая скорость вращения, равная . Коэффициент упругости равен . Подставим данные в уравнение (1)

решая соответствующее ему характеристическое уравнение получим следующие корни

тогда общее решение будет

Ответ: