2. Индивидуальная производная

Пусть А – некоторая гидродинамическая величина (векторная или скалярная). Для выделенной жидкой частицы эта величина будет зависеть от времени: A=A(t). Изменение А в предположении, что эта величина относится к фиксированной частице, характеризуется производной от А по времени, которая называется индивидуальной производной (А_и’). Рассмотрим, что представляет А_и’ в переменных Эйлера и Лагранжа.

1) Пусть А – функция переменных Эйлера. Для фиксированной частицы координаты в соответствии с законом ее движения будут функциями времени

x=x(t), y=y(t), z=z(t) (13)

Поэтому A(t)=A[x(t), y(t), z(t)];

А_и’= . (14)

Так как (13) - уравнения движения частицы, то

. (15)

2) Пусть А – функция переменных Лагранжа: А=А(а,b,c,t). Для выделенной частицы аргументы a,b,c фиксированы, изменяется только время. Потому

. (16)

Местная или локальная производная. Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка. Через эту точку в разные моменты времени проходят разные частицы. Каждой из них соответствует некоторая гидродинамическая величина A. В фиксированной точке пространства

A=A(t). (17)

Изменение A в фиксированной точке пространстве характеризуется производной А по времени, которая называется локальной производной по времени .

1. Пусть А – функция переменных Эйлера, т.е. A=A(x,y,z,t). Т.к. x,y,z фиксированы, то

. (17)

2. Пусть А – функция переменных Лагранжа: А=А(a,b,c.t). В разные моменты времени через точку М проходят разные частицы с разными значениями a,b,c. Но так как в каждый момент времени в точке М оказывается одна частица, то имеем

а=а(t), b=b(t), c=c(t).

Таким образом, для фиксированной точки пространства А=А[a(t), b(t), c(t)] и

. (18)

Эта формула приобретает значение, если известны производные . Вычислим их. Так как движение задано в переменных Лагранжа, то известна связь (2). Дифференцируя по t связь (2) и учитывая, что x,y,z фиксированы, получим

(19)

Система (19) – система трех линейных уравнений относительно . Якобиан системы не равен нулю. Решая (19) относительно и подставляя эти решения в (18), приходим к формуле для локальной производной

. (20)

3. Напряженное состояние деформируемой среды

Когда сплошное тело приходит в движение, каждый элемент жидкости с течением времени в общем случае перемещается в новое положение и при этом деформируется. Движение жидкости будет полностью определено, если вектор скорости Ŵ будет задан, т.е. Ŵ=f(x,y,z,t). Поэтому должно существовать соотношение между составляющими скорости деформации и функцией Ŵ= Ŵ(x,y,z,t). Скорость, с которой элемент жидкости деформируется, зависит от относительного движения двух точек. Рассмотрим 2 близкие точки (A,B). При наличии поля скоростей т.А за промежуток времени dt совершает перемещение s= Ŵdt в положение , т. В с радиусом вектором dr по отношению к т.А перемещается в положение , расположенное относительно т.В согласно радиусу-вектору s+ds= (Ŵ+d Ŵ)dt.

Считаем, что в т.А составляющие скорости Ŵ есть u,v,w. Тогда составляющие скорости в т.В будут

(1)

.

Система (1) получена с учетом разложения в ряд Тейлора скорости Ŵ+d Ŵ, сохраняя при этом только члены первого порядка. Таким образом, относительное движение т.В относительно т. А будет описываться матрицей из 9 частных производных локального поля скорости

(2)

Преобразуем (1) составляющие относительной скорости du, dv, dw к виду:

(3)

Введенные символы имеют значения

(4)

и

. (5)

Заметим, что Ŵ.

Каждый член в (4), (5) имеет геометрическую и физическую интерпретацию или физический смысл.

Уравнения (3) определяют поле относительных скоростей, в котором du,dv,dw являются линейными функциями пространственных координат.

Смысл членов в (4), (5). Величины представляют удлинение элемента жидкости в направлении x,y,z соответственно. Общее удлинение есть Ŵ – объемное расширение или сжатие жидкости. Каждый из диагональных членов определяет скорость искажения прямого угла, лежащего в плоскости, нормальной к оси, индекс которой отсутствует в двойном индексе недиагонального члена матрицы (4). Это искажение сохраняет объем и изменяет только форму элемента жидкости.

Компоненты завихренности поля скоростей вектора Ŵ представляют угловые скорости мгновенного вращения элемента жидкости как твердого тела.

В общем случае движение элемента жидкости может быть разложено на 4 составляющих:

1) на чистое параллельное перемещение, определяемое составляющими скорости u,v,w.

2) на вращение как твердого тела, определяемое составляющими вектора Ŵ.

3) на объемное расширение, определяемое величиной Ŵ

4) на искажение геометрической формы, определяемое величинами .

Элементы матрицы (4) образуют систему составляющих симметричного тензора – тензора скоростей деформации.