2. Математическая формулировка проблемы

Система дифференциальных уравнений, определяющая теплообмен при турбулентном течении однородного инертного потока слабосжимаемого газа в канале с изотермической стенкой включает уравнения: неразрывности, осредненные уравнения Навье – Стокса (динамические уравнения Рейнольдса), энергии, которые в тензорной форме были представлены выше и имеют вид:

(2)

(3) (4)

Переменность теплофизических свойств от температуры определяется зависимостью Саттерленда:

(5)

где – динамический коэффициент вязкости при нормальных условиях ; T – локальная температура; С – эмпирическая постоянная для закона (5), отвечающая конкретной газообразной среде. В случае анализа жидких капельных сред переменность теплофизических свойств учитывается формулой Рейнольдса-Филонова:

(6)

где k – опытная константа.

Заметим, что в случае анализа ламинарного режима течения и теплообмена система (5.2) – (5.4) вырождается в систему уравнений Навье – Стокса и энергии с напряжениями , , для решения которых используются технологии, сообщенные выше. При турбулентных процессах систему (2) - (4) необходимо дополнить зависимостями, определяющими коэффициенты турбулентного обмена .

3. Модель турбулентности к замыканию уравнений, определяющих течение и теплоперенос во внутренних системах

Учитывая замечания к моделированию турбулентности, высказанные во введении, остановимся на моментной теории и многопараметрических (двухпараметрических тепловых и динамических) моделях. Тогда для напряжений Рейнольдса и турбулентных потоков тепла по подходу Колмогорова – Прандтля будем иметь:

; (7)

; (8)

; (9)

(10)

Замыкание определяющих уравнений проводится по K – L – модели, так как она более экономична при получении решения и эффективна в описании низкорейнольдсовых процессов. Ее транспортные уравнения имеют вид:

(11)

. (12)

Значения констант в k-L модели следующие:

;(5.14)

. (13)

В определении турбулентных тепловых потоков также используются двухпараметрические модели, представляющие уравнения для автокорреляций пульсаций температуры (энтальпии), скорости ее диссипации и имеют структуру, подобную уравнениям (11), (12):

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

4 Краевые условия. Для осредненных и пульсационных гидродинамических характеристик необходимые краевые условия к интегрированию определяющих уравнений имеют вид (см. рис. 2):

1. На оси условия симметрии ;

2. На входе , , где

– интенсивность турбулентности, интегральный масштаб турбулентности

3. На стенке выполняются условия прилипания, как для осредненных, так и пульсационных характеристик ; ;

4. На выходе

Рис. 2. Области постановки граничных условий:

1 – на оси; 2 – на входе; 3 – на стенке; 4 – на выходе