Глава 7. Статика жидкостей и их свойства. Основные законы равновесия

1. Уравнения равновесия жидкости и газа

Как отмечалось выше, в гидростатике рассматриваются законы равновесия жидкости (газа), находящейся в покое. Если жидкость (газ) находится в состоянии покоя от­носительно стенок сосуда, в котором она заключена, а сосуд покоится или движется с постоянной скоростью относительно земли, то покой называется абсолютным. Если жидкость покоится относительно стенок сосуда, а сосуд движется относительно земли с ускорением, то покой называется относи­тельным. Движение жидкости в случае относительного покоя можно рас­сматривать как переносное. Из приведенных определений вытекает, что в случае абсолютного покоя на жидкость действует сила тяжести, а в случае относительного покоя - сила тяжести и сила инерции переносного движения.

Так как в покоящейся жидкости скорости деформации ε_ik=0, то из рео­логического уравнения для вязкой жидкости (см.выше реологический закон) имеем

, (1)

то есть в покоящейся жидкости действуют только нормальные сжимающие напряжения.

Зам.: По Л. Прандтлю «жидкостью называется такое тело, в котором в состоянии равновесия всякое сопротивление деформации равно нулю». Из этого определения следует, что и, соответственно, ε_ik=0.

Величина этих напряжений не зависит от направления и равна давлению. Это давление называется гидростатическим.

Подставив соотношения (1) в уравнения движения сплошной среды в напряжениях, получим ( ):

. (2)

Уравнения (2) называются уравнениями Эйлера в гидростатике.

Умножив скалярно векторное уравнение (2) на единичный вектор , имеем

, (3)

то есть изменение давления в каком-либо направлении определяется про­екцией напряжения массовой силы F_s на это направление.

Умножим скалярные уравнения (2) на dx_j. Так как при равнове­сии p=p(x_i), то

. (4)

Поверхности, вдоль которых р = соnst, называются изобарами. Из ра­венств (4) следует, что уравнение изобары имеет вид

, (5)

где вектор dr лежит в плоскости, касательной к изобаре. Тогда из (5) вытекает, что напряжение массовой силы направлено по нормали к изобаре. Этот же вывод следует непосредственно из равенств (2).

Очевидно, что уравнения (2)-(5) в равной мере справедливы как для сжимаемых, так и для несжимаемых жидкостей.

Из уравнений (4) имеем, что

, (6)

где М₀, М -точки, в которых гидростатическое давление равно соответст­венно р₀ и р. Если напряжение массовой силы обладает потенциалом, то есть , то соотношение (6) принимает вид:

. (7)

2. Равновесие жидкости в поле силы тяжести

Рис. 6.1.

При рассмотрении равновесия жидкости в поле силы тяжести введем систему координат Oxyz, где ось Oz направлена против ускорения силы тяжести ĝ (см. рис.1). В этом случае П= -g z , Fx, = Fy = 0, Fz =-g и уравнение (4) принимает вид: . (8) В случае однородной несжимаемой жидкости р-const, из уравнения (6.8) имеем . (9)

Уравнение (9) справедливо для любой точки в объеме жидкости. Урав­нение изобары имеет в рассматриваемом случае вид

. (10)

Таким образом, при равновесии жидкости, находящейся в поле силы тя­жести, изобара представляет собой горизонтальную плоскость.

Для определения константы С в уравнении (9) необходимо задать гра­ничные условия. Пусть при z=z₀ p=p₀ (см. рис. 1). Тогда

p-p₀=ρg(z₀-z), (11)

или

. (12)

Обозначив z₀ -z=h, уравнение (11) можно представить в виде

p=p₀+ρgh. (13)

где pgh - давление, создаваемое столбом жидкости высотой h.

Уравнение (8), или (12), обычно называются основными уравнениями гидростатики.

Рис. 2.		Из (13) следует, что сила давления жидкости на дно сосуда с площадью основания S не зависит от его формы (рис. 2) и рав­на (p0 +ρgh)S . Данный результат обычно называется парадоксом Паскаля. [Бпез Паскаль (1623-1662). французский физик и математик]. Превышение абсолютного давления рабс над атмосферным pат, то есть разность pи=pабс-pа называется избыточным давлением. Величи­на pв =pа-pабс называется вакуумом.
Рис.3.		Рассмотрим некоторые примеры на применение уравнений гидростатики. 1. Сообщающиеся сосуды (рис. 3). Давление на свободных поверхностях с ко­ординатами z1 Z/ и z, одинаково. Следователь­но, они представляют собой участки одной изобарической поверхности и в соответствии с соотношением (6.9) z; = z-.. Этот же вывод следует из уравнения изобары (10). 2. Равновесие разнородных жидкостей. Пусть две несмешивающиеся жидкости с плотностями р1 и p2 находятся в состоянии равновесия. Давление при переходе через поверхность раздела меняется непрерывным образом. На поверхности раздела из уравнения (8) имеем dp=-ρ1gdz, dp =-ρ2 -gdz или p1,g dz = p2,g dz. Следовательно, dz =0 и граница раздела пред­ставляет собой горизонтальную плос­кость z =const.
Рис. 4.	3. Двухжидкостной манометр (рис. 4). Для определения разности давлений в системе, заполненной жидкостью плотности ρ1, исполь­зуется манометр с рабочей жидкостью плотно­стью ρ2. В точках 4 и 5, лежащих на горизон­тальной плоскости в одной и той же жидкости, p4=p5. В соответствии с уравнением (13) откуда следует, что р1 - р2 =gh{ρ2-ρ1).

Рис. 5.

4. Пьезометрическая высота (рис. 5). Давление в несжимаемой жидко­сти можно измерять высотой столба этой же жидкости НП с помощью трубки А. Такая трубка называется пьезометриче­ской. Для точек 1 и 2 имеем: Тогда . (14) Давление в любой точке сосуда равно

Высота Н называется пьезометрической, а поверхность, проходящая через уровень в пьезометре - пьезометрической плоскостью. Если p₀> р_ат, то пьезометрическая плоскость

лежит выше свободной поверхности в сосуде, если p₀<р_ат , то ниже.

5. Равновесие тяжелого газа. Для газа, находящегося в равновесии в поле силы тяжести, из (7) имеем

(15)

Для вычисления интеграла в (15) необходимо задать зависи­мость р =p(ρ).

Ограничимся рассмотрением изотермического равновесия идеального газа при температуре Тb. Тогда ρ=p/(RT₀) и из (15) получим:

Разлагая это выражение в ряд, имеем:

Если

(16)

где ρ₀ - плотность газа при давлении p₀ и температуре Т_о. Из формулы (16) следует, что если z-z₀ мало, то распределение давления в газе будет практи­чески таким же, как в несжимаемой жидкости. Для воздуха газовая постоянная R=287дж/(кг град). Пусть T₀=293°К. Тогда при z-z₀<85м погрешность, даваемая форму­лой (16), будет меньше 1%.