Глава 13. Основные положения задачи об истечении капельных сред из замкнутых систем

1. Понятия и определения

При рассмотрении многих технических вопросов, как истечение жидкости из резервуаров различного назначения, утечки через свищи в трубопроводах, распыление жидкости через форсунки приходится сталкиваться с задачами истечения через отверстия и насадки.

1.1. Истечение из малого отверстия. Для примера рассматривается резервуар, в днище которого имеется круглое отверстие диаметра d. Особенность истечения связана с тем, что струя, вытекая, сжимается и на некотором расстоянии l приобретает площадь сечения ω_c, меньшую, чем площадь отверстия ω. Величина

(1)

наз. коэффициентом сжатия струи.

Если стенки резервуара (Р) не влияют на формирование струи, то сжатие наз. совершенным. Наоборот – несовершенным. Из опыта следует, чтобы сжатие было совершенным необходимо, чтобы расстояние от стенки с>3d. Если по части периметра отверстия имеются направляющие козырьки, то сжатие наз. неполным. Наоборот – полным.

Для определения скорости истечения из отверстия воспользуемся уравнением Бернулли для участка между сечениями (0 – свободная поверхность, с – место, где заканчивается сужение). Тогда

. (2)

Также из уравнения неразрывности следует, что

, (3)

где ω₀ – площадь Р в сечении 0. Из опыта следует, что l≈d и l<<H. Все потери напора сосредоточены в отверстии, которое является местным сопротивлением. Согласно формуле Дарси-Вейсбаха имеем:

. (4)

С учетом (3), (4) из (2) имеем

. (5)

Из (5) следует, что скорость истечения w_c будет

. (6)

Здесь - напор истечения. (7)

- коэффициент скорости. (8)

В приведенных обозначениях по (7), (8) cвязь (6) имеет вид

. (9)

Замечание. Величины α₀ >1, α_с >1; ς>0, благодаря вязкости; ε<1 из-за наличия инерции. Поэтому φ учитывает вязкостные и инерционные эффекты.

Определение. Если для отверстия выполняется , то отверстие наз. малым. Для него (9) сохраняет свой вид, но коэффициент скорости равен . (В указанных допущениях φ<1). Для идеальной жидкости (α_с =1, ς=0). Тогда φ=1 и (9) имеет вид

. (10)

(10) наз. теоретической скоростью истечения.

Расход через отверстие равен

или . (11)

Величина μ=εφ наз. коэффициентом расхода.

Таким образом, параметры ε, φ, μ не являются независимыми, а связаны соотношением. Они определяются экспериментально и являются функциями числа Рейнольдса.

С помощью уравнения Бернулли можно показать, что для малого отверстия (9) и (11) будут справедливы и в том случае, если отверстие находится в боковой стенке Р. При этом под H понимают расстояние от оси отверстия до свободной поверхности.

Истечение при ламинарном режиме. Для ламинарного истечения, путем интегрирования ДУ движения реальной жидкости, может быть получена формула для скорости истечения Семпсона:

. (12)