9.Сходится ли интеграл ?
Т.к.
ограничена, то предел существует, поэтому
интеграл сходится
14. Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .
В
,
где n>3,
расстояние между точками определяется
формулой
Где, А и В – две произвольные точки из .
Свойства:
,
если 
,и
;
- «неравенство треугольника» (1)
Доказательства: Первые два свойства очевидным образом следуют из определения расстояния.
1)Область
значений функции 
равна 
.
2)
Дано: 
,
тогда 
;
.
ЧТД
3) Сначала проверим неравенство (1):
,где
– какие угодно числа. Взяв любое число
х,
запишем
равенство 1:
,где
.
Очевидно, 
Квадратный трехчлен 
,
как показывает левая часть равенства
1, неотрицателен при любом значении
х. Следовательно,
его дискриминант 
,
откуда имеем 
,
или неравенство 2:
Но если возвести в квадрат обе части неравенства 1 и сократить слева и справа равные слагаемые, то получим неравенство 2.
Опираясь
на неравенство 1, докажем теперь
«неравенство треугольника». Если в
неравенстве 1 положим, что 
,
то придем к
, т.е. к «неравенству треугольника» для трех точек p,q,r в .
10.
Сходится ли интеграл 
?
11.
При каких значениях α сходится интеграл
? Ответ обоснуйте.
Интегральный
признак сходимости.
Пусть члены числового ряда 
являются значениями неотрицательной
непрерывной функции 
,
монотонно убывающей на луче [1;+∞). Тогда
ряд 
и несобственный интеграл 
сходятся или расходятся одновременно.
При
α>1 
,
следовательно интеграл сходятся.
15.
Дайте определение открытого множества
в 
.
Является ли множество 
открытым?
Ответ обоснуйте.
Множество
Х
называется открытым, если все его точки
внутренние. Точка р
называется внутренней точкой множества
Х ,
если она содержится в Х
вместе
с некоторой своей 
.
Множество
не является открытым, т.к. точка 
,
принадлежит D,
но в любой её сколько угодно малой
окрестности 
есть точки, не лежащие в D
(например, точки (х,у),
для которых 
.
16.
Дайте определение замкнутого множества
в
.
Является ли множество 
замкнутым?
Ответ обоснуйте.
Множество
Х
называется замкнутым, если оно содержит
все свои граничные точки. Точка р
называется граничной точкой для Х,
если любая её окрестность содержит как
точки, принадлежащие Х,
так и точки, не принадлежащие Х.
Множество 
не является закрытым, т.к. точка 
,
не принадлежит D,
но в любой её окрестности 
есть
точки, лежащие в D.
17.
Дайте определение открытого множества
в
.
Является ли множество 
открытым?
Ответ обоснуйте.
Множество Х называется открытым, если все его точки внутренние. Точка р называется внутренней точкой множества Х , если она содержится в Х вместе с некоторой своей .
Множество
является открытым, т.к. 
точки 
лежит в D.
18. Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры: а) множества, содержащего все свои предельные точки, б) множества, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.
Пусть
Х
– множество в
,
точка 
называется предельной для Х,
если в любой 
Х,
отличные
от
.
А)
замкнутый круг: 
Б)
замкнутый круг без своего центра 
.
В этом случае центр (0,0) и есть та предельная
точка, которая не принадлежит самому
множеству.
19.
Дайте определение сходящейся
последовательности точек в 
.
К какой точке в
сходится
последовательность 
?
Ответ обоснуйте.
Пусть
- последовательность точек в
.
Мы говорим, что эта последовательность
сходится к точке
,
если числовая последовательность 
имеет предел 0. Если А – предел
последовательности, то говорят, что
сходится к точки А.
Поскольку
то
А=(
20.
Дайте определение сходящейся
последовательности точек в
.
К какой точке в 
сходится
последовательность 
?
Ответобоснуйте.
Пусть
- последовательность точек в
.
Мы говорим, что эта последовательность
сходится к точке
,
если числовая последовательность
имеет придел 0. Если А – предел
последовательности, то говорят, что
сходится к точки А: 
Поскольку
=
,
то А=(
22. (определение 21) Доказать, что не имеет предела в точке (0,0)
Рассмотрим две последовательности точек, сходящихся к (0,0) :
(0;
)
и
(
;0)
=
=-1
и 
-1
=
=-1
и 
26. (определение 25)
Найти
частные производные
=y*2x=4
=
=1
27.
Определение дифференцируемости функции.
Функция
z=f(x,y)
называется дифференцируемой в точке
(
,
)
, если ее полное приращение можно
представить в виде:
=
(
)
,
где
бесконечно
малая при 
-
расстояние от (x,y)
до (
)
Если функция z=f(x,y) дифференцируема в ( ), то она непрерывна в этой точке.
Док-во:
необходимо проверить, что 
=
=
+
+
=0
28. Определение дифференциала функции. Полный дифференциал дифференцируемой функции z=f(x,y) представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращения аргументов
dz=
,
dx=
z=
d
Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке ( , ) , если ее полное приращение можно представить в виде:
= ( ) , где
бесконечно малая при
- расстояние от (x,y) до ( )
Пример:
z=
-?