- •2. Докажите, что d(
- •3. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •4. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла
- •6. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона-Лейбница.
- •8. Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите, что для любой четной непрерывной на отрезке[-a; a] функции f (X) справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?
- •9.Сходится ли интеграл ?
- •14. Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .
- •29. Как связаны производная по направлению и градиент?
- •30. Определение градиента. Градиентом функции в т. М называется вектор, координаты которого равны частным производным данной функции в точке м
- •33. Вывести формулу Эйлера для однородной функции трех переменных.
- •44. Дайте определение числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при при
- •45. Дайте определения числового ряда и его суммы. Исходя из определения докажите, что сумма ряда равна числу 1.
- •46. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.
- •50.Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.
- •65. Найти значение а, при котором функция является решением дифференциального уравнения - опечатка
- •78. Написать общее и частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения:
78. Написать общее и частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения:
y=eλx(C1+C2x)
79. y=C1eλx+C2еλx ; 80.у=еах(С1cosβx+C2sinβx) ; 82. y’’-2y’-8y=5xe4x
Λ2-2λ-8=0 ; D=4+32=36; Λ1,=-2 λ2=4; Y=C1e-2x+C2e4x ; f(x)=Pn(x)eax; y=eaxxkTn(x), если а - корень характеристического уравнения , то К – кратность этого корня y=e4xx(Ax+B) , y=C1e-2x+C2e4x+e4xx(Ax+B)
83. y’’-8y’+20y=e4xsin2x; Λ2-8λ+20=0 ; D=64-80=-16 ; Λ=4+-2i
F(x)=eax(Pn(x)sinbx+Qm(x)cos bx)
F(x)=e4x(sinbx+0coxbx)
Yч=e4xx(Asin2x+Bcos2x)
Y=e4x(C1cos2x+C2sin2x)+e4x(Asin2x+Bcos2x)
76. Докажите, что линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка также является решением этого уравнения. Пусть у1(х) и у2(х),….,ук(х) – произвольные решения линейного однородного дифференциального уравнения и С1, С2,….,Ск – произвольные постоянные, тогда линейная комбинация С1у1(х)+С2у2(х)+….+Скук(х) также является решением этого уравнения. Действительно, на основании L(C1y1+C2y2)= C1L(y1)+C2L(y2), имеем: L(C1y1+C2y2+….+Ckyk)=C1L(y1)+C2L(y2)+…+CkL(yk)=0 что и требовалось доказать.
72. Дайте определение и приведите пример линейного дифференциального уравнения второго порядка. Докажите, что если и – решения линейного неоднородного уравнения, то разность является решением соответствующего линейного однородного уравнения
Линейным уравнением второго порядка называется уравнение y”+p(x)y’+q(x)y=b(x). Пример y”+5y’+6y=4sin(x).
Т.к. Y1(X) и Y2(X) явл решением, то: Y’+p(X)Y=G(X) - верное по усл
Y1’(X)+P(X)Y1(X)=G(X)-верное по усл
Y2’+P(X)Y2(X)=G(x)- верное по усл
Y1’(X)-Y2’(X)+P(X)(Y1(X)-Y2(X)))=0 –это и есть решение.