- •2. Докажите, что d(
- •3. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •4. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла
- •6. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона-Лейбница.
- •8. Применив замену переменной в определенном интеграле, докажите, что для любой четной непрерывной на отрезке[-a; a] функции f (X) справедливо равенство . В чем состоит его геометрический смысл?
- •9.Сходится ли интеграл ?
- •14. Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .
- •29. Как связаны производная по направлению и градиент?
- •30. Определение градиента. Градиентом функции в т. М называется вектор, координаты которого равны частным производным данной функции в точке м
- •33. Вывести формулу Эйлера для однородной функции трех переменных.
- •44. Дайте определение числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при при
- •45. Дайте определения числового ряда и его суммы. Исходя из определения докажите, что сумма ряда равна числу 1.
- •46. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.
- •50.Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.
- •65. Найти значение а, при котором функция является решением дифференциального уравнения - опечатка
- •78. Написать общее и частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения:
50.Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.
Если существует предел: , то
при L < 1 ряд сходится
при L > 1 ряд расходится
при L = 1 необходимы доп. исследования. (признак неприменим)
Пример:
Докажем сходимость: сравним с рядом: . Поскольку при всех n => достаточно доказать сходимость этого ряда. Так как , то = Т.о. . Этот ряд сходится => искомый ряд тоже сходится. Признак Даламбера не работает:
59. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Используя эту теорему, найдите разложение функции в ряд Маклорена, исходя из разложения функции . Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда: пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R,R) в степенной ряд: f(x) = a0+a1x+a2x2+…+anxn+…(1). Рассмотрим степенной ряд: a1+2a2x+…+nanxn-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда:
ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1).
на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f,(x), которая разлагается в степенной ряд (2)
ряд для cosx получается почленным дифференцированием ряда Sinx=x-(x3/3!)+(x5/5!)-…+(-1)n(x2n+1/(2n+1)!)+…
(Sinx)’=x’-(x3/3!)’+(x5/5!)’-…+((-1)n(x2n+1/(2n+1)!))’+…
Cosx=1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)n(x2n/(2n!)
65. Найти значение а, при котором функция является решением дифференциального уравнения - опечатка
69. Дайте определение и приведите пример дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Приведите уравнение к виду уравнения с разделенными переменными. Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.
Проверим на однородность функцию:
=> однородны.
Уравнение с разделяющимися переменными.
70. Дайте определение и приведите пример автономного дифференциального уравнения. Сформулируйте свойство решений автономного уравнения. Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида :y’=g(y).
Замечание: Если у*- корень уравнения g(y)=0, то у=у* (у-const) является решением уравнения y’=g(y). Такое решение называется стационарным.
Теорема: Если у=фи(х) – решение автономного дифференциального уравнения, то у=фи(х+С) также является решением этого уравнения.
Пример: y’=cos(2y+2x+6). Делая замену z=2y+2x+6, находим z’=2y’+2. Следовательно, z’=2cosz+2, или z’=4cos2z/2. 71. Дайте определение уравнения Бернулли. Приведите пример.
Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yn (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли. Пример: y’-y=e6x/y2. Решение: n=-2. Выполним замену z=y3, получим z’=3y2y’. Далее решаем полученное уравнение: z’-3z=3e6x
74. Установить линейную зависимость системы функций , , . Пусть функции линейно независимы , тогда составим определитель Вронского:
W(y1, y2,…,yk)=|y1 y2 …. Yk|
| 2 х-1 х+1|
|y’1y’2 …. Y’k| =
| 0 1 1 | = | . …………… | =0 |0 0 0 |
|y1(k-1)y2(k-1) …. Yk(k-1)|
значит функции лин зависимы чтд
Данные функции линейно зависимы так первую функцию можно представить в виде линейной комбинации двух других 2= 1*(x+1)+(-1)+(x-1), соответственно можно подобрать такие α1,α2,α3 при которых верно равенство: α1*y1+α2*y2+α3*y3=0
1*(x+1)+(-1)*(x-1)+(-1)*2=0
67. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка Проверьте выполнение условий этой теоремы для задачи , Если в некоторой окрестности точки (х0;у0) функция f(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’y, то существует такая окрестность точки (х0;у0), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x0)=y0имеет решение, притом единственное.
Подставим в исходное:
Запишем общее решение:
Подставим значения условий для задачи Коши
Ответ: с=3 и у=-3х.
6 8. Какое решение дифференциального уравнения называется особым? Найдите особое решение уравнения . Особое решение дифференциального уравнения – это некоторая интегральная прямая уравнения, состоящая из особых точек.
Практика:
Решение уравнения, но есть особые решения при y(x)=0.
75. Докажите, что сумма частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка и общего решения соответствующего однородного уравнения является общим решением линейного неоднородного уравнения второго порядка. Общее решение неоднородного уравнения L(y)=f(x)есть сумма частного решения ‾у(х) этого уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения L(y)=0. Доказательство: Покажем сначала, что сумма у(х) частного решения уравнения неоднородного уравнения ‾у(х)и произвольного решения у0(х) однородного уравнения также является решением неоднородного уравнения. Действительно, в силу леммы имеем L(‾y+y0)=L(‾y)+L(y0)=f(x)+0=f(x), что и требовалось доказать. Теперь нам осталось доказать, что всякое решение у(х) неоднородного уравнения есть сумма ‾у(х) и некоторого частного решения у0(х) уравнения L(y)=f(x). Имеем L(у-‾y)=L(y)-L(‾y)=f(x)-f(x)=0.Следовательно, у0(х)=у(х)-‾у(х) – решение уравнения L(y)=0, значит, у(х)=у0(х)+‾у(х), что и завершает доказательство.
Возьмем ур-е (1): . Решением ур-я(1) будет сумма частного и общего решения однородного ур-я .
Док-во. Тогда имеем *: . Возьмем любое решение ур-я (1)**:
Вычтем их ** уравнение *, получим: ЧТД
77. Докажите, что общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейная комбинация фундаментальной системы решений этого уравнения. Пусть у1(х),……, уп(х) – фундаментальный набор решений уравнения L(y)=0, тогда общее решение этого уравнения задается формулой: y=C1y1+…+Cnyn. Доказательство. То, что функция у(х), определяемая формулой
С1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Скук(х0)=0
С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сkу’k(х0)=0
………………………………………………
С1у1(k-1)(х0)+С2у2(k-1)(х0)+…..+ Сkуk(k-1)(х0)=-0
Является решением уравнения L(y)=0, следует из С1у1(х)+С2у2(х)+….+Скук(х). Покажем теперь что любое решение ѱ (х) уравнения L(y)=0 представимо в виде линейной комбинации функций у1,…,уп. Зафиксируем некоторую точку х0. Введем следующие обозначения ѱ(х0)=у0, ѱ’(x0)=y’0, …., ѱ(n-1)(x0)=y0(n-1) рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:
С1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Сnуn(х0)=y0
С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сnу’n(х0)=y0
………………………………………………
С1у1(n-1)(х0)+С2у2(n-1)(х0)+…..+ Сnуn(n-1)(х0)=y0(n-1)
Определителем этой системы является определитель Вронского для функции у1,…уп в точке х0. Ввиду линейной зависимости этих функций данный определитель не равен нулю. Следовательно, у системы
С1у1(х0)+С2у2(х0)+….+Сnуn(х0)=y0(1.1)
С1у’1(х0)+С2у’2(х0)+…+ Сnу’n(х0)=y0
………………………………………………
С1у1(n-1)(х0)+С2у2(n-1)(х0)+…..+ Сnуn(n-1)(х0)=y0(n-1)
Существует решение (‾С1, ‾С2,….,‾Сп). Тогда функция у(х)=‾С1у1(х)+‾С2у2(х)+…+‾Спуп(х), как это вытекает из (1.1), удовлетворяет тем же начальным условиям. В силу единственности решения задачи Коши имеем ѱ(х)=у(х), т.е. ѱ(х) есть линейная комбинация функции у1,…уп. теорема доказана.