13. Проведите вывод выражений для комплексного сопротивления r, l и с элементов

Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление R, С и L элементов электрических цепей в комплексной форме – Z_R, Z_C и Z_L.

Но в предыдущей лекции было установлено, что на резистивном элементе напряжение и ток совпадают по фазе, т. е. . Поэтому

такое сопротивление часто называют активным.

Комплексное сопротивление емкости определяется следующим отношением:

.

Он обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и

обозначается Х_С, т.е. .

Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением:

.

Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается Х_L, т.е .

Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность – реактивными элементами цепи.

14. Проведите вывод для комплексного сопротивления электрической цепи с последовательно включенными r, l и с элементами

Теперь определим комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивные элементы, например, последовательно включенные R, L и С элементы Такая цепь представляет замкнутый контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа: .

Так как ток, протекающий через все элементы последовательной цепи, одинаков, то

Разделим обе части равенства на Ì_m(t):

.

По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.4.1, т.е.

(4.7)

где R – действительная часть или активное сопротивление цепи, – мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

15. Проведите переход от комплексной показательной к комплексной алгебраической форме сопротивления электрической цепи.

(4.7)

где R – действительная часть или активное сопротивление цепи, – мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

Выражение (4.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме.

Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольника сопротивления (рис.4.2). В треугольнике гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем

. (4.8)

Катет, прилежащий к острому углу определяет активное сопротивление цепи R:

(4.9)

Противолежащий катет определяет реактивное сопротивление цепи Х:

(4.10)

Угол φ_Z определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который

вносится комплексным сопротивлением цепи:

. (4.11)

Учитывая выражения (4.8)  (4.11), легко перейти от алгебраической к

тригонометрической форме комплексного сопротивления:

Z = Z (4.12)

Применив формулу Эйлера, получим показательную комплексную форму представления сопротивления: Z (4.13)

Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника Э.Д.С. в комплексном изображении: . (4.14)

Выражение показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение:

.

16. Проведите вывод для мгновенной мощности электрической цепи с последовательно включенными R, L и С элементами. В общем случае мгновенная мощность определяется произведением тока на напряжение: .

Определим мгновенную мощность для цепи с последовательно включенными R, L и С элементами. Пусть в этой цепи протекает ток . Он одинаков для всех элементов цепи.

Напряжение цепи определяется суммой падений напряжений на отдельных элементах

.

.

.

Тогда выражение для мгновенной мощности цепи примет вид:

.

Выражение (5.10) показывает, что мгновенная мощность цепи определяется суммой слагаемых мощностей каждого из элементов. Оценка каждого из слагаемых требует более детального анализа выражения (5.10).

17. Проведите вывод выражения для активной мощности цепи с последовательно включенными R, L и С элементами. Для анализа . применим известные из курса тригонометрии формулы преобразования:

.

Применяя их к (5.10), получим:

, (5.11)

где I – действующее значение тока, причем

Первые два слагаемых в (5.11) определяют мгновенную мощность, выделяемую на элементе R. Можно записать, что:

. (5.12)

Как видно из (5.12), мгновенная мощность p_R(t) содержит постоянную составляющую Р = RI² и переменную, меняющуюся с удвоенной частотой. График р_R(t) приведен на рис. 5.2. График наглядно показывает, что мощность р_R(t) всегда положительна и изменяется от 0 (в момент t=0, k×T/2) до 2RI² (в моменты (2k-1)× T/4), где Т=2p/w - период тока.

Среднее за период значение мощности обозначают Р и называют активной мощностью, причем

(5.13)

Обратимся к векторной диаграмме рис. 5.1. Учтем, что падение напряжения на резистивном элементе цепи рис. 4.1 – U_R = R∙I = Uа∙cosφ. С учетом правой части равенства (5.6) перепишем (5.12) в виде:

. (5.14)

Первое слагаемое в правой части (5.14) полностью соответствует (5.13), т.е. определяет активную мощность цепи:

[Вт]. (5.15)

Выражение (5.15) используется на практике намного чаще, так как определяет зависимость активной мощности от сдвига фаз между действующими значениями тока и напряжения цепи. В силу этого коэффициент cos j называют коэффициентом мощности и обозначают l:

. (5.16)