18. Проведите вывод выражений для реактивной и полной мощности цепи с последовательно включенными r, l и с элементами

Продолжим анализ слагаемых в выражении для мгновенной мощности цепи В нем третье и четвертое слагаемые определяют мощность, выделяемую на реактивных элементах:

Определим эту мощность:

.

.

Коэффициент [вар] называется реактивной мощностью, обозначается Q и измеряется в вольт-амперах реактивных [вар].

Теперь общее выражение для мгновенной мощности всей цепи можно записать в виде .

Второе и третье слагаемые в свернем как косинус суммы двух аргументов –cos(2ωt+φ). Тогда выражение приходит к виду .

Таким образом, мгновенная мощность цепи содержит постоянную и переменную составляющие. Переменная составляющая мгновенной мощности изменяется относительно постоянной с удвоенной частотой. Амплитудное значение переменной составляющей в обозначают S и называют полной мощностью цепи:

[ВА].

(5.25)

(5.26)

Полная мощность S – это теоретически достижимая, расчетная

мощность, По значению S производятся расчеты сечения проводов, изоляция, параметры приемников электрической энергии. Из-за сдвига фаз φ мощность полностью не реализуется. Поэтому cosφ и получил название коэффициента мощности. Значение коэффициента мощности всегда стремятся обеспечить достаточно большим.

19. Дайте определение резонанса. Поясните физические процессы в параллельном колебательном контуре. Известно, что алгебраическая форма комплексного сопротивления Z имеет действительную R и мнимую X части: .

Значения действительной и мнимой частей определяются составом и топологией схемы. Для схемы с последовательно включенными элементами R, L, и С реактивное сопротивление определяется выражением: .

Очевидно, что значение слагаемых реактивного сопротивления зависит от частоты ω. На малых частотах емкостная составляющая имеет большое значение, а индуктивная – малое. Поэтому реактивное сопротивление схемы Х принимает емкостной характер. На больших частотах Х принимает индуктивный характер.

Существует такая частота ω₀, на которой

На этой частоте реактивное сопротивление равно нулю, а комплексное сопротивление цепи становится активным. Такой режим выделяют особо и называют резонансным. Под резонансным режимом работы электрической цепи понимают режим, при котором ее сопротивление является чисто активным.

Различают две разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений. Рассмотрим каждый из режимов.

Резонанс токов возникает в цепи с параллельным включением элементов Такая цепь содержит два сложных потенциальных узла, а все элементы находятся под одним и тем же напряжением. . (6.1)

Из выражения следует, что ток может быть равен нулю при соблюдении условия

. (6.8)

Выражение (6.8) позволяет определить

– резонансную частоту – ω₀, причем

; (6.9)

– значение одного из элементов L или С по заданному значению резонансной частоты – ω₀ и по известному значению другого элемента

. (6.10)

Величина Q_к равна , (6.16)

может быть больше единицы, в специальных устройствах достигает несколько десятков и сотен единиц и называется добротностью.

Еще раз подчеркнем замечательную особенность цепи в режиме резонанса. Токи, протекающие в ветвях реактивных элементов, могут принимать значения в десятки и сотни раз больше общего тока цепи. Поэтому резонанс цепи называют резонансом токов. Очень важно и то, что они противофазные. Именно это указывает на то, что в цепи происходит колебательный процесс с частотой по передаче электрической энергии конденсатора в магнитную энергию индуктивности и наоборот.

.

Поэтому падение напряжения между узлами цепи максимально на частоте ω₀ и уменьшается при удалении от ω₀. В силу этих качеств параллельный колебательный контур широко применяют в радио и радиотехнических устройствах для выделения сигналов на заданной частоте.

20. Поясните физические процессы, приведите основные соотношения для последовательного колебательного контура. Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным соединением элементов (рис. 6.5). Известно, что комплексное сопротивление такой цепи определяется выражением .

По определению резонанс в цепи рис.6.5 наступает, когда выполнится условие .Отсюда видно, что резонанс в цепи возникает на частоте

.Очевидно также, что , .

Видим, что полученные выражения полностью соответствуют (6.9) и (6.10). Это подтверждает единство физической сути различных видов резонанса.

Определим ток и напряжение всей цепи, а также падение напряжения на ее отдельных элементах в режиме резонанса. Так как сопротивление всей цепи в режиме резонанса минимально и равно R, то ток в ней максимален и равен

.

Падение напряжения на отдельных элементах легко найти по закону Ома. Так, падение напряжения на резисторе R равно

. (6.18)

Тривиальный математически результат интересен по физической сути – при резонансе все напряжение источника выделяется на R элементе цепи.

Падение напряжения на индуктивности определяется выражением:

. (6.19)

Величина

(6.20)

называется добротностью и может принимать значение десятков и сотен единиц. Значит, падение напряжения на индуктивности может в десятки и сотни раз превышать Э.Д.С. источника.

Падение напряжения на емкости равно

. (6.21)

Так как , то падение напряжения на емкости равно по величине падению напряжения на индуктивности, но они противоположны по знаку. Отношение напряжения на индуктивности или на емкости в режиме резонанса к току в этом режиме называют характеристическим сопротивлением – ρ, причем

(6.22)

В силу того, что

,

рассматриваемый режим назван резонансом напряжений. Противоположность фаз напряжений и указывает на то, что в цепи происходит такой же колебательный процесс с частотой ω₀, как и в параллельном колебательном контуре.

В силу этих особенностей достоверным признаком наступления резонанса в цепи является максимум тока, значение которого изменяется с изменением частоты по резонансной кривой.

21. Приведите основные определения, элементы, схемы соединения трехфазных электрических цепей. Совокупность трехфазной системы Э.Д.С. и трехфазной нагрузки (или нагрузок) и соединительных проводов называют трехфазной цепью.

Токи, протекающие по отдельным участкам трехфазной цепи, сдвинуты относительно друг друга по фазе. Под фазой трехфазной цепи понимают участок цепи, по которому протекает один и тот же ток. Таким образом, в зависимости от рассматриваемого вопроса, фаза – это либо участок трехфазной цепи, либо аргумент синусоидально изменяющейся величины.

Схемы соединения трехфазных цепей определяются способами соединения обмоток генератора и фаз приемника. Таких способа только два – звезда и треугольник. Поэтому возможны четыре схемы соединения трехфазных цепей:

1) звезда – звезда;

2) треугольник – треугольник;

3) звезда – треугольник;

4) треугольник – звезда.

В названии схем первым называют способ соединения обмоток генератора. Так как обмотки генератора предпочитают соединять звездой (при этом исключаются возможные потери энергии в случае нарушения симметрии фаз), то большее распространение получили первый и третий варианты. Рассмотрим их более подробно.

На электрической схеме трехфазный генератор изображают в виде трех обмоток, расположенных друг к другу под углом 120⁰. При соединении «звездой» одноименные зажимы (например, концы – X, Y, Z) трех обмоток объединяются в один узел, который называют нулевой или нейтральной точкой генератора и обозначают буквой «О» (рис. 7.3). Провод, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называют нейтральным.

Провода, соединяющие начала фаз обмоток генератора и приемника, называют линейными. Для соединения такого генератора с приемником, как правило, требуется четыре провода. Поэтому цепь называют трехфазной четырехпроводной.

Под симметричной трехфазной системой Э.Д.С. понимают совокупность трех синусоидальных Э.Д.С. одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120⁰. График их мгновенных значений представлен на рис. 7.1, а векторная диаграмма - на рис. 7.2.

Трехфазную систему Э.Д.С. получают при помощи трехфазного генератора, в пазах статора которого размещены три электрически изолированные друг от друга обмотки - фазные обмотки генератора. Плоскости обмоток смещены в пространстве на 120°. При вращении ротора генератора в обмотках

наводятся Э.Д.С., одинаковые по амплитуде, но сдвинутые по фазе на 120°.

Линейными называют токи, протекающие по линейным проводам – I_A, I_В, I_C. За положительное направление линейных токов принимают направление от генератора к нагрузке. Когда линейные токи по модулю одинаковы, их обозначают I_Л, не указывая никакого дополнительного индекса.

Фазными называют токи, протекающие в фазах трехфазных приемников – Ia, Iв, Ic. За положительное направление этих токов принимают направление от линейного провода к нейтральному. Значение каждого из фазных токов (модуль и аргумент) определяется законом Ома и зависит от величины и характера комплексного сопротивления приемника соответствующей фазы.

22. Приведите схему, основные параметры трехфазной четырехпроводной электрической цепи. Схема цепи приведена на рис. 7.5. Такие схемы получили наибольшее распространение для питания силовых и осветительных приемников с номинальным напряжением до 380 В. В схеме рис. 7.5 протекают три линейных, три фазных тока и ток нейтрального провода; действуют три линейных и три фазных напряжения. Определим эти величины.

Линейными называют токи, протекающие по линейным проводам – I_A, I_В, I_C. За положительное направление линейных токов принимают направление от генератора к нагрузке. Когда линейные токи по модулю одинаковы, их обозначают I_Л, не указывая никакого дополнительного индекса.

Фазными называют токи, протекающие в фазах трехфазных приемников – Ia, Iв, Ic. За положительное направление этих токов принимают направление от линейного провода к нейтральному. Значение каждого из фазных токов (модуль и аргумент) определяется законом Ома и зависит от величины и характера комплексного сопротивления приемника соответствующей фазы.

Ток нейтрального провода, согласно первому закону Кирхгофа, определяется суммой фазных токов:

За положительное направление тока принимают направление от приемника к нагрузке.

Линейным называют напряжение между линейными проводами (между началами фаз генератора), а фазным – между началом и концом каждой фазы. За положительное направление фазных напряжений принимают направление от начала к концу каждой фазы.

Благодаря наличию нейтрального провода схема рис. 7.5 представляет три замкнутых контура. В каждый из контуров входят соответствующая фазная обмотка генератора, линейный провод, сопротивление соответствующей фазы трехфазного приемника, нейтральный провод. Элементы соединены последовательно, поэтому ток, протекающий через них, одинаков.

Таким образом, линейные токи цепи рис. 7.5 равны соответствующим фазным токам

. (7.1)

Фазные обмотки генератора и соответствующие им фазы приемника

включены параллельно. Следовательно,

(7.2)

Векторная диаграмма фазных напряжений совпадает с векторной диаграммой Э.Д.С. фазных обмоток генератора (рис. 7.3).

Соотношения между линейными и фазными напряжениями трехфазной цепи можно определить из уравнений, составленных для схемы рис. 7.6, а. Согласно второму закону Кирхгофа и с учетом (7.2), уравнения имеют вид:

(7.2, а)

Векторная диаграмма линейных и фазных напряжений, соответствующих (7.2, а), приведена на рис. 7.6, б. Она позволяет определить как количественные, так и фазовые соотношения между фазными и линейными напряжениями трехфазной цепи с симметричным приемником.

Векторы линейных напряжений сдвинуты друг относительно друга на угол и опережают соответствующие векторы фазных напряжений на угол Значение каждого из линейных напряжений в раз больше фазного. Это следует из рис. 7.6, б, так как т. е.

(7.3)

Токи в каждой фазе можно определить по формулам

Если приемники симметричные, то токи в фазах будут равны по модулю и сдвинуты по фазе по отношению к соответствующим фазным напряжениям на один и тот же угол. Построив векторную диаграмму токов для симметричного приемника (рис. 7.6, в), легко установить, что геометрическая сумма трех векторов тока равна нулю:

Следовательно, в случае симметричного приемника ток в нейтральном

проводе I₀=0, поэтому необходимость в нейтральном проводе отпадает.