- •18. Определение производной функции в точке.
- •19. Определение дифференцируемой функции в точке x0 .
- •20. Определение дифференциала функции f(X ) в точке x0 .
- •41. Достаточное условие интегрируемости.
- •42. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •43. Свойства определенного интеграла.
- •49. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке.
- •51.Окрестность точки в Rn . Внутренние и граничные точки множества.
- •52. Открытые и замкнутые множества.
- •53.Изолированные и предельные точки множества.
- •54.Ограниченные множества.
- •81.Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
- •82. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
- •83. Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
- •84. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
- •85. Числовые ряды.
- •86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •87. Свойства сходящихся рядов.
- •88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •89. Числовые ряды с неотрицательными членами.
- •90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
- •91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •92. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •97. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости.
- •107. Общее решение однородного дифференциального уравнения с
- •109. Общее решение однородной системы линейных
41. Достаточное условие интегрируемости.
Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] ф-цияf(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента, что ST-sT≤ε.
Фун-ция, непрерывная на отрезке, интегрируема на этом отрезке.
42. Геометрический смысл определенного интеграла.
Опр-ныйинт-л равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми x = a, x = b, при а b, осью Ох и графиком неотриц-ной и непрерывной ф-цииy = f(x).
43. Свойства определенного интеграла.
1. Инт-л от суммы двух функций f(x) и g(x) по отрезку [a, b] равен сумме инт-лов это от этих фук-ций по этому же отрезку
2. Постоянный множитель (к) можно выносить из-под знака инт-ла.
3. Инт-л от неотрицательной фун-ции на отрезке [a,b]-неотрицат-ное число, т.е. если f(x)≥0 на [a,b], то ∫(a по b) f(x)dx=≥0
4. Интегрирование неравенств. Если на отрезке [a,b] выполняется неравенство f(x) ≤ g(x), то такое же неравенство выполняется и для интегралов:
5. Оценка определенногоинт-ла. Пусть m – наименьшее, а M – наибольшее значение непрерывной функции на отрезке [a,b], тогда выполняется двойное неравенство:
44. Формула Ньютона - Лейбница.
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)- первообразная для f(x). Тогда:
∫(a по b) f(x)dx= F(b)-F(a)
45. Формула замены переменной в определенном интеграле.
Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a, b], а ф-ция определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке , и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем и Ф ([a, b])= [a, b]. Тогда .
46. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .
47. Определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом.
Пусть функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a;b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл ∫(a по +∞)f(x)dxпринимают предел функции I(b) = ∫(a по b)f(x)dx, когда b стремится к бесконечности. Тогда ∫(a по +∞)f(x)dx= lim b→∞ ∫(а по b)f(x)dx.
Если данный предел существует и конечен, то говорят, что несобств-ныйинт-л сходится.
Если же предел не существует, то несобств-ныйинт-л расходится.
48. Определение несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом.
По аналогии с верхним вопросом можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом, а именно:
∫(-∞ по b)f(x)dx= lima→-∞ ∫(a по b)f(x)dx
49. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке.
Пусть функция y = f (x) не ограничена на отрезке [a;b], однако интегрируема на любом меньшем отрезке [a;b-эпсил], где эпсил>0. Тогда если существует предел ,его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функцииf (x):
Если предел существует несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
50.Расстояние в Rn. Свойства расстояния.
51.Окрестность точки в Rn . Внутренние и граничные точки множества.
Пусть pₒ- точка в Rⁿ и ε – положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром в pₒ называется множество всех точек, расстояние которых от pₒ меньше ε:
{p € Rⁿ │ ρ (pₒ,p)< ε}.
Шар радиуса ε с центром pₒ обозначается B(pₒ, ε) или U3(pₒ). Множество U3(pₒ) называют
ε–окрестностью точки pₒ.
Внутренние и граничные точки множества:
Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р называется:
-Внутренней точкой множества Х, если она содержится вместе с некоторой своей
ε–окрестностью;
-Внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rⁿ;
-Граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х.