4. После проверки на отсутствие грубых погрешностей вычисляют оценки среднего квадратического значения результата измерения σср:

σср=√[1/(n(n-1))∙Σ1n(Xi-Xср)2] . (6.20)

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения характеризует степень рассеивания результатов отдельных наблюдений относительно среднего арифметического значения.

Зная σср, можно найти наибольшую возможную, или предельную, погрешность Δпр. Понятие предельного значения погрешности теоретически справедливо только для погрешностей, имеющих четко выраженные границы закона распределений. Для таких законов (например, равномерного) можно указать такое значение ±Δпр, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения. Для других законов распределений Δпр следует понимать как значение, выход за которое весьма маловероятен. Принято считать, что для нормального закона распределений Δпр равно 3σср, так как при нормальном законе распределения вероятность того, что результат измерения отличается от истинного не более чем на 3σср, составляет чрезвычайно малое значение - 0,003, или 0,3 %, и такой погрешностью можно пренебречь.

Можно определить также вероятное значение погрешности Δв, которое соответствует доверительной вероятности 0,5, а это означает, что половина погрешностей превышает Δв, а половина меньше его. Для нормального закона распределения Δв ≈ 2/3σср.

Недостатком оценок в виде предельных и вероятных значений является то, что они не содержат информации о характере законов распределений случайных погрешностей. Например, при арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превысить действительные погрешности.

5. Проверяют гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению (при n > 15) - см. главу 7.

6. Находят границы доверительного интервала случайной погрешности результата измерения Δ1 и Δ2.

Если закон распределения неизвестен, но известны его числовые характеристики, можно грубо оценить его доверительную вероятность снизу при заданном симметричном доверительном интервале e. Для этого можно воспользоваться неравенством Чебышева:

Р ≥ 1 – σ2ср/ε2 . (6.21)

Данный способ расчета используется редко и в основном для ориентировочных оценок, так как при заданном доверительном интервале получаемое значение Р сильно занижено.

Более приближенные к действительным значения дает метод определения погрешности при законе, близком к нормальному. В этом случае используется формула

P≈0.5[Ф(Δ1/σср)+Ф(Δ2/σср)] , (6.22)

где Ф(t) - интеграл вероятности;

t1=Δ1/σср;

t2=Δ2/σср.

Причем Ф(-t) = -Ф(t). При симметричном доверительном интервале (Δ1=Δ2=e) формула (6.9) упрощается:

P≈ Ф(ε) . (6.23)

Этот способ основан на использовании центральной предельной теоремы теории вероятности, согласно которой закон распределения суммы одинаково распределенных независимых случайных величин приближается к нормальному при условии, что число слагаемых в сумме неограниченно возрастает. Поэтому способ справедлив для любых законов распределения результатов наблюдений. Следовательно, при достаточно большом числе наблюдений (реально более 10-20) закон распределения может считаться близким к нормальному. Для малого числа наблюдений этот способ может привести к значительным ошибкам при определении доверительной вероятности.

Вероятность того, что случайная погрешность окажется за пределами интервала ± e, оценивается уровнем значимости q = 1 - Ф(t).

Для точного определения доверительной вероятности при малом количестве наблюдений существует способ, используемый для нормального закона распределения случайных погрешностей.

При заданном доверительном интервале доверительная вероятность может быть найдена по формуле

P≈F(Δ1/σср)+F(Δ2/σср)-1 , (6.24)

где F(t) - функция распределения Стьюдента.

Для симметричного доверительного интервала

P≈2F(ε /σср)-1 .

Если требуется определить доверительный интервал, при заданной доверительной вероятности удобно воспользоваться следующими формулами:

e = tσср, или e* = tσ*ср, (6.25)

где e - границы симметричного доверительного интервала (e = Δ1 = Δ2); t находится с использованием коэффициентов Стьюдента при известном количестве наблюдений n.

Использование последнего способа правомерно, если априорно известно, что закон распределения результатов отдельных независимых наблюдений нормальный либо проверка на нормальность распределения дала положительные результаты.

При решении задач часто доверительный интервал задается в виде ±3σср, при котором доверительная вероятность составляет 0,9973, или 99,73 %. Это означает, что на 370 проведенных наблюдений допустимо одно наблюдение с результатом, выходящим за пределы ±3σср. Если сузить границы доверительного интервала до ±2σср, то доверительная вероятность составит 0,955, или 95,5 %. Тогда выход за установленные пределы допускается на каждые 22 наблюдения.

Иногда требуется решение и обратной задачи - по заданной доверительной вероятности найти границы доверительного интервала, что возможно для всех трех способов при условии, что известны результаты отдельных наблюдений либо известна средняя квадратическая погрешность результата измерения. Если заранее доверительная вероятность не задана, то рекомендуется при технических измерениях принимать ее равной 0,95, а в особо ответственных случаях, связанных со здоровьем и безопасностью людей, применять доверительную вероятность, равную 0,99. Применение рассмотренных выше элементов общей теории измерений необходимо для обеспечения точности и достоверности результата измерения. При многократных наблюдениях получают ряд значений, обрабатывая которые находят результат измерения. Для обработки применяют инструменты математической статистики, рассматривая ряд значений как выборку из генеральной совокупности. Опираясь на теорию вероятностей, математическая статистика позволяет оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала.

Точность характеризуется значением, обратным значению относительной погрешности. Величина, обратная абсолютной погрешности, называется мерой точности. В зависимости от требуемой точности, в процессе измерений могут применяться как однократные, так и многократные наблюдения. Если выполняется лишь одно наблюдение, то результат наблюдения является результатом измерения. Если выполняется больше одного наблюдения, результат измерения получают в итоге обработки результатов наблюдений, как правило, в виде среднего арифметического.

Требуемая точность технических измерений может также обеспечиваться повторением многократных наблюдений. В этом случае многократные наблюдения одного и того же объекта выполняются несколько раз. Чтобы сократить время, необходимое для обработки нескольких рядов многократных наблюдений, в начале процесса обработки применяют индикаторы, позволяющие определить предпочтительный ряд и в дальнейшем обрабатывать только этот ряд.

Такими индикаторами является сумма остаточных погрешностей и сумма квадратов остаточных погрешностей. Эти индикаторы являются косвенной характеристикой несмещенности и эффективности оценки, полученной при обработке результатов многократных наблюдений.

Если измерения проводились несколько раз и получено несколько рядов результатов наблюдений, то при одинаковом количестве наблюдений в разных рядах наименьшую сумму остаточных погрешностей будет иметь тот ряд, в котором результаты распределились симметрично относительно среднего арифметического значения, т.е. наиболее близко к нормальному закону. Для дальнейших вычислений рекомендуется выбирать именно его, т.к. он в наибольшей степени будет удовлетворять условию равноточности, а при исключенной систематической погрешности - условию несмещенности оценки результата измерения.

Несмещенная оценка - статистическая оценка, математическое ожидание которой совпадает с оцениваемой величиной. Про несмещенную оценку говорят, что она лишена систематической ошибки.

Однако симметричность не является исчерпывающей характеристикой распределения. Следующим важным в метрологии признаком является компактность распределения. По этому признаку при фиксированном числе наблюдений предпочтительный ряд может быть определен индикатором эффективности. Эффективной называется та из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию. Условию эффективности будет удовлетворять ряд с наименьшей суммой квадратов остаточных погрешностей.

Очевидно, что в практической метрологии эффективная оценка является предпочтительной. Признак эффективности свидетельствует о том, что субъективная составляющая случайной погрешности минимальна, наблюдения выполнялись более аккуратно и будет обеспечен наименьший размер случайной погрешности.

В теоретической метрологии рассматривается также состоятельная оценка, являющаяся идеальной моделью для многократных измерений, к которой желательно стремиться, но получить ее практически невозможно. При состоятельной оценке истинное и действительное значение совпадают, погрешность равна нулю. Это достигается бесконечным увеличением числа наблюдений. Состоятельной называется оценка, в которой при числе наблюдений, стремящемся к бесконечности, дисперсия стремится к нулю.

Достоверность результата измерения полагается высокой, если близка к единице ( - вероятность, с которой истинное значение физической величины удалено от действительного значения на интервал, не превышающий погрешности). В технических измерениях значение , как правило, принимается равным 0,95. Это говорит о том, что если проводить такие измерения 100 раз, то в 95 случаях истинное значение окажется удалено от действительного значения на интервал, размеры которого не превышают погрешности, а в 5 случаях окажется удалено на интервал, превышающий погрешность. Поэтому в измерениях, имеющих непосредственное влияние на безопасность и здоровье, значение принимается равным 0,99. Такую же вероятность назначают при однократных измерениях. Это объясняется тем, что при прочих равных обстоятельствах (в первую очередь, при одинаковом числе наблюдений), размеры и взаимосвязаны: чем больше , тем больше , следовательно, назначая высокую степень уверенности, мы рассматриваем наихудший вариант контролируемых событий.

Задавая большую степень неопределенности контролируемым посредством измерений событиям, мы получаем большую уверенность в том, что они произойдут.

Существует способ одновременно увеличивать достоверность и уменьшать неопределенность результата измерений, т.е. увеличивать и уменьшать . Этот способ - увеличение числа наблюдений, . Однако дополнительные наблюдения делают более дорогим процесс измерения. В этой связи актуален рассмотренный в первом разделе вопрос корректной записи результатов измерений.