3. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

Вынужденными называют колебания, которые возникают в системе при участии внешних сил, изменяющихся по периодическому закону.

Пусть на горизонтальный пружинный маятник помимо указанных выше сил действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону

cos ωt. Тогда по второму закону Ньютона:

В проекции на ось Х ma = F_у+F_тр+F или m(d²x/dt²)= -kx – r(dx/dt) + F₀ cos ωt. Разделим на m и введем обозначения f₀=F₀/m, 2β=r/m; ω₀² =k/m.

Получаем: (d²x/dt²) +(r/m)(dx/dt) +(k/m)x = f₀ cos ωt.

(d²x/dt² )+ 2β(dx/dt) + ω₀² x= f₀ cos ωt. (10)

Решением этого уравнения является сумма 2-х слагаемых. Одно из них X=A₀e^-βtcos(ωt +φ₀). Это уравнение затухающих колебаний играет роль только при установлении колебаний. Со временем им можно пренебречь.

Другое слагаемое X=A cos(ωt +φ₀) (11) описывает смещение материальной точки в установившихся вынужденных колебаниях.

А= f₀/ (12); tg φ₀=-2βω/(ω ² – ω₀²)(13).

Как видно, вынужденное колебание так же является гармоническим. Частота его равна частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания β, а так же ω и ω₀.

Если знаменатель имеет минимальное значение, то амплитуда А имеет максимальное. Это явление резонанса. Резонансная частота (14), амплитуда А_рез=f₀/2β (15). При отсутствии сопротивления (β≈0) А_рез→ ∞ и ω_рез→ω₀

Существуют колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение затраченной энергии. Незатухающие колебания, существующие в таких системах, называются автоколебаниями. Амплитуда и частота автоколебаний зависит от свойств самой системы. Примеры: в технике часы, генераторы электромагнитных колебаний; в биологии – сердце, легкие и т. д..

4.Механические волны.

Уравнение плоской волны S= A cos(ω(t-x/ν)) (16), где S – смещение, колеблющейся точки, ω – циклическая частота колебаний; t- время распространения волны; x- координата точки, до которой дошла волна,

ν – скорость ее распространения.

Длина волны λ – расстояние между двумя точками, фазы колебания которых в одно и то же время отличаются на 2π или - путь, пройденный волной за время равное периоду колебаний. λ=Τν (17).

Фазовой скоростью называют скорость распространения фазы колебаний. Если реальная волна является группой гармонических волн, то говорят о групповой скорости.

Потоком энергии называют энергию, переносимую через поверхность в единицу времени. Ф=dE/dt (18) [Ф] = Вт

Ф = sν - = Е/V– объемная плотность энергии.

Плотность потока энергии I = Ф/S = w_ρν => I = w_ρν, показывает направление распространения волны. Его называют вектором Умова:

(19)

Так как Е=(½)k A² = (½)m ω₀² A², а m=ρv => =E / v =

(½)ρ ω₀² A²=> I = (½)ρ ω₀² A² ν

5.Эффект Доплера.

При относительном движении источника и приемника механических волн (звука) происходит изменение частоты волны воспринимаемой приемником (наблюдателем). Это явление получило название эффект Доплера.

, где - воспринимаемая приемником частота;

– излучаемая частота; – скорость волны (звука); _н – скорость наблюдателя; _и – скорость источника. Верхние знаки применяют при сближении объектов, а нижние при их удалении.

В медицине эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардия).

Пример: определение скорости кровотока.

Генератор ультразвука совмещают с приемником (техническая система) и помещают в сосуд с движущейся кровью (аорту, артерию и т. Д.).

В среде движется объект (эритроциты) со скоростью ν₀ равной скорости кровотока и направленной к технической системе. Генератор излучает УЗ с частотой υ_г , распространяющийся со скоростью ₀ν. Объект воспринимает уже частоту υ₁ =((ν + ₀ )/ν)υ_г и отражает ее назад к технической системе. Приемник воспринимает частоту

=(ν/ (ν – ₀))υ₁ ==(ν/ (ν – ₀)) ((ν + ₀ )/ν) υ_г =((ν + ₀ )/(ν – ₀)) υ_г

Доплеровский сдвиг частот ∆υ

∆υ=υ_D = – υ_г=((ν + ₀ )/(ν – ₀)) υ_г – υ_г = (2 ₀ /(ν – ₀))υ_г. При определении скорости кровотока ν >> ₀ => ∆υ=υ_D = (2 ₀ /ν)υ_г