- •6.030509 «Облік і аудит»
- •Тема 1. Предмет, методи і моделі завдання дисципліни. Класифікація задач.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування.
- •Тема лекції: Математичне моделювання. Економічна та математична постановка матричних та оптимізаційних задач
- •Предмет математичного моделювання.
- •Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •Задачі математичного програмування.
- •4. Класифікація методів математичного програмування.
- •5. Задачі планування та організації виробництва.
- •5.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •5.2. Задача про завантаження обладнання
- •6. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язання
- •Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •3. Графічний метод розв’язання задач мп.
- •Алгоритм знаходження розв’язку задачі мп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання
- •Тема лекції: Вирішення задач лп симплекс-методом.
- •1. Представлення задач лп в матричній та векторній формі.
- •2. Симплексний метод розв’язання задач лп. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Метод штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •5. Метод потенціалів.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.
- •Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові задачі лінійного програмування
- •Тема 6. Елементи нелінійного програмування
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Задачі цілочислового програмування.
- •3. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •4. Метод множників Лагранжа.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Акулич и.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – м.: Высшая школа, 1993. – 336 с.
- •2. Іванюта і.Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник/ і.Д. Іванюта, в.І. Рибалка, і.А. Рудоміра – Дусятська. – к. : «Слово», 2008. – 296 с.
- •1. Постановка задач теорії ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 8. Аналіз та управління ризиком в економіці
- •Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику
- •Тема лекції: Ризики. Оцінка ризиків.
- •1. Поняття ризику. Причини виникнення, класифікація.
- •Кількісні методи оцінки ризиків
- •Питання для самоконтролю.
Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
Якщо немає сідловок точки, то гра ведеться в мішаних стратегіях, тобто розглядається не вибір можливої стратегії, а ймовірність з котрою обирається ця стратегія. Мішана стратегія визначається сукупністю ймовірностей різних стратегій.
Нехай гравець А для визначення своєї мішаної стратегії використав метод випадкового вибіру.
Нехай х1 – ймовірність вибору 1-ої стратегії;
х2 - ймовірність вибору 2-ої стратегії;
…………………………………………………
xm - ймовірність вибору m-ої стратегії.
Означення 1. Мішаною стратегією гравця А називається упорядкований набір m чисел х1, х2, ….., xm, які задовольняють умовам: 0≤xi≤1, i= =1.
Мішані стратегії гравців А та В позначають =(x1,x2, …, xm), =(y1,y2,…,yn).
Всяка матрична гра з нульовою сумою має оптимальне рішення в мішаних стратегіях, при цьому відхилятися гравцям від цих стратегій не вигідно.
Теорема. О методі знаходження рішення.
Для того, щоб число ν було ціною гри, а Х* та Y* - оптимальними стратегіями, необхідно та достатньо, щоб виконувались умови:
j=
i=
Визначення оптимальних стратегій та ціни гри створюють процес знаходження рішення гри.
Теорема 2. Якщо один з гравців використовує мішану оптимальну стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри ν незалежно від того, з якими частотами буде використовувати другий гравець стратегії, які вийшли до оптимальної стратегії( в тому числі і чисті стратегії).
Розглянемо гру з платіжною матрицею 2х2: A= .
Якщо сідлової точки нема, рішення гри є мішані стратегії =(х1,х2) та =(y1,y2) стратегії гравців А та В, для котрих ймовірністі xi yi відмінні від нуля, звуться активними.
Стратегію гравця А шукаємо по формулі ХА= , де Х=(х1,х2), =( ν, ν).
До даної системи рівнянь додаємо норміровочне рівняння х1+х2=1.
Для гравця В:
де Y= , = .
Розв’язавши систему рівнянь знайдемо оптимальні стратегії гравців та ціну гри ν.
Наслідок. Для того, щоб х*, була оптимальною мішаною стратегією матричнох гри з матрицею А та ціною гри ν, необхідно та достатньо, щоб виконувались наступні нерівності:
j=
Аналогічно для гравця В: Для того, щоб у* булла оптимальною мішаною стратегією матричної гри з матрицею А та ціною гри ν, необхідно та достатньо, щоб виконувались наступні нерівності:
i=
Таким чином, для розв’язування гри необхідно визначити стратегії, що задовольняють вишенаведані системи обмежень та умови нормування:
0, =1, i= , , =1, j= .
Цей наслідок дозволяє сформулювати для розв’язання гри пару задач лінійного програмування.
Зведення задач теорії ігор до задач лп.
Якщо один з гравців застосовує свою оптимальну стратегію х*, то інший не може покращити своє становище, тобто для оптимальної стратегії справедливі співвідношення:
j= , xi≥0, =1, i= за умов ν→Мах.
Перетворимо цю задачу, здійснивши підстановку pi= , і отримаємо
→Min,тому що ν→Мах.
Таким чином, маємо задачу ЛП, розв’язуючи яку, отримаємо значення pi, за допомогою яких шляхом оберної підстановки визначимо оптимальні значення ймовірностей, що складають оптимальну мішану стратегію.
А здійснивши підстановку qj= і враховуючи, що гравець В прагне мінімізувати програш, отримаємо пару двоїстих задач ЛП, розв’язання яких дозволить визначити оптимальні стратегії гравців А та В:
.
Таким чином, процедура розв’язування гри двох осіб є наступною:
Розраховуємо нижню та верхню ціну гри; якщо вони рівні між собою, то гра розв’язана.
Спрощуємо гру шляхом виключення домінованих стратегій.
Формулюємо пару задач ЛП, розв’язавши одну з яких, встановлюємо оптимальну мішану стратегію одного з гравців (зручніше гравця В).
За розв’язком прямої задачі знаходимо розвязок двоїстої.
Шляхом оберненої підстановки визначемо оптимальні стратегії для спрощеної гри та доповнюємо їх домінованими чистими стратегіями з ймовірністю використання, що рівні нулю.