- •6.030509 «Облік і аудит»
- •Тема 1. Предмет, методи і моделі завдання дисципліни. Класифікація задач.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування.
- •Тема лекції: Математичне моделювання. Економічна та математична постановка матричних та оптимізаційних задач
- •Предмет математичного моделювання.
- •Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •Задачі математичного програмування.
- •4. Класифікація методів математичного програмування.
- •5. Задачі планування та організації виробництва.
- •5.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •5.2. Задача про завантаження обладнання
- •6. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язання
- •Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •3. Графічний метод розв’язання задач мп.
- •Алгоритм знаходження розв’язку задачі мп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання
- •Тема лекції: Вирішення задач лп симплекс-методом.
- •1. Представлення задач лп в матричній та векторній формі.
- •2. Симплексний метод розв’язання задач лп. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Метод штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •5. Метод потенціалів.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.
- •Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові задачі лінійного програмування
- •Тема 6. Елементи нелінійного програмування
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Задачі цілочислового програмування.
- •3. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •4. Метод множників Лагранжа.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Акулич и.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – м.: Высшая школа, 1993. – 336 с.
- •2. Іванюта і.Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник/ і.Д. Іванюта, в.І. Рибалка, і.А. Рудоміра – Дусятська. – к. : «Слово», 2008. – 296 с.
- •1. Постановка задач теорії ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 8. Аналіз та управління ризиком в економіці
- •Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику
- •Тема лекції: Ризики. Оцінка ризиків.
- •1. Поняття ризику. Причини виникнення, класифікація.
- •Кількісні методи оцінки ризиків
- •Питання для самоконтролю.
5. Задачі планування та організації виробництва.
5.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
Нехай: m – кількість ресурсів; n – кількість товарів; аij – кількість одиниць i- го ресурсу, які необхідні для виробництва одиниці j – го товару; bi – максимальна кількість одиниць i- го ресурсу, що можна використати у виробництві; сj – прибуток від реалізації одиниці j – го товару; хj – запланований рівень виробництва одиниць j – го товару.
Загальна кількість одиниць i- го ресурсу, що використовується у виробництві згідно з планом, дорівнює
аi1x1 + аij2x2 +аi3х3 +.........+ аinхn (i=1.2.3…..m) (1)
Оскільки вона не повинна перевищувати максимальної кількості одиниць i- го ресурсу, яку можна використати у виробництві, то
аi1x1 + аij2x2 +аi3х3+.........+ аinхn ≤ bi (i=1.2.3…..m) (2)
Очевидно, що хj≥0 (j=1.2.3…..n)
Прибуток, одержаний від виробництва хj одиниць j – го товару, дорівнює сj хj, а загальний прибуток визначаємо за формулою
Z= c1x1 + c2x2+ c3x3 + ……… + cnxn →max (3)
З економічної точки зору задача полягає в тому, щоб загальний прибуток був максимальним.
5.2. Задача про завантаження обладнання
Нехай підприємству задано план виробництва продукції за часом і номенклатурою: треба за час Т виготувати n1, n2, …… nk одиниць продукції Р1, Р2, P3, ……Pk. Продукція обробляється на верстатах S1, S2, S3,……. Sm. Для кожного верстата відома продуктивність аij (тобто кількість одиниць продукції Рj, яку можна виготувати на верстаті Si) і витрати bij на виготовлення продукції Рj на верстаті Si за одиницю часу.
Необхідно скласти такий план роботи верстатів (тобто так розподілити обробку продукції між верстатами), щоб витрати на виробництво всієї продукції були мінімальними.
Позначимо хij – час, протягом якого верстат Si буде виготовляти продукцію Рj (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..n).
Оскільки час роботи кожного верстата обмежений і не перевищує Т, то справедливі нерівності:
x1,1+ x1,2 +x1,3 + ……. + x1,k ≤ T
x2,1+ x2,2 +x2,3 + ……. + x2,k ≤ T
x3,1+ x3,2 +x3,3 + ……. + x3,k ≤ T (4)
xm,1+ xm,2 +xm,3 + ……. + xm,k ≤ T
Для виконання плану виготовлення за номенклатурою необхідно, щоб виконувались рівності:
a11x11+a21x21+……………. + am1xm1 ≤ n1
a12x12+a22x22+ …………… +am2xm2 ≤ n2
…………………………………………. (5)
a1kx1k+a2kx2k+………………+amkxmk ≤ nk
Крім цього, хij≥0, (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..k) (6)
Витрати на виробництво всієї продукції задаються функцією
L= b1kx1k+b2kx2k+……+bmkxmk →min (7)
Отже, ЕММ задачі про завантаження обладнання має вигляд:
Знайти такий розв’язок Х=(x11,x12,x13,…….,xmk ) , що задовольняє системам (4) – (6), за якою функція набуває мінімального значення.
6. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
Матричні ЕММ призначені для аналізу та планування виробництва та розподілу продукції на різних рівнях – від окремого підприємства до народного господарства в цілому.
Ціль балансового аналізу – відповісти на запитання: яким повинен бути об’єм виробництва кожної з галузей, щоб задовільнити усі потреби в продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, як виробник продукції, а з другого боку як споживач продукції і своєї і інших галузей.
Зв’язок між галузями, відображається у таблицях міжгалузевого балансу, а математична модель, яка дозволяє їх аналізувати, розроблена в 1936 році американським вченим В. Леонтьєвим.
Основу балансу створює сукупність усіх галузей матеріального виробництва, їх число дорівнює n.
Кожна галузь двічі присутня в балансі: як виробник так і як споживач галузі. Як виробнику відповідає визначена строка балансу, а галузі як споживачу визначен стовпець балансу. Якщо номер будь якого виробника галузі позначити через i, а номер будь якої споживчої галузі через j, то величину хij потрібно розуміти як вартість засобів виробництва, вироблених у
i-й галузі та спожитої в якості матеріальних витрат в j-й галузі.
Матрична модель міжгалузевого балансу
Виробнича галузь |
Споживча галузь |
Продукція, тис.грн. |
|||||
1 |
2 |
3 |
j |
N |
Кінцева |
Валова |
|
1 |
x11 |
x12 |
x13 |
… |
x1n |
y1 |
X1 |
2 |
x21 |
x22 |
x23 |
… |
x2n |
y2 |
X2 |
3 |
x31 |
x32 |
x33 |
… |
x3n |
y3 |
X3 |
I |
… |
… |
… |
… |
… |
... |
… |
N |
xn1 |
xn2 |
xn3 |
… |
xnn |
yn |
Xn |
Оплата праці |
v1 |
v2 |
v3 |
… |
vn |
vкон |
- |
Чистий дохід, тис. грн. |
m1 |
m2 |
m3 |
… |
mn |
mкон |
- |
Валова продукція, тис. грн. |
X1 |
X2` |
X3 |
… |
Xn |
- |
X |
В стовбцях міжгалузевого балансу відображена структура матеріальних витрат та чистої продукції кожної галузі. Припустимо. 1-а галузь – це виробництво електоенергії, друга – вугільна промисловість. Тоді величина х11 показує вартість електроенергії, яку спожила 1-а галузь для своїх внутрішніх виробничих потреб. Величина x12 відображає витрати вугілля при виробництві електроенергії. В цілому ж стовбець х11, x21, х31, ..., хn1 характеризує структуру матеріальних витрат за звітний рік в розрезі галузей- постачальників.
В балансі відображені не тільки матеріальні витрати, но і чиста продукція галузей. Так, чиста продукція 1-ї галузі характеризується сумою оплати праці v1 та чистого доходу (прибутку) m1. підсумок матеріальних витрат та чистої продукції дорівнює, очевидь, валової продукції галузі (наприклад, для першої галузі – величені Х1). Таким чином, можна записати:
Х1=х11+х21+х31+…+хn1+v1+m1 = (8)
Такі ж співвідношення вірні і для усіх галузей i мають наступний вигляд:
X (9)
Якщо подивитися на модель по строкам міжгалузевого балансу, то там представлен розподіл річного об’єму продукції кожної галузі матеріального виробництва.
Х1 = х11+х12+х13+ … +х1т+y1 =
тоді для будь-якої виробничої галузі
Хi= (10)
Якщо порівняти ліву та праву частину рівнянь (9) та (10), то можна відмітити, що :
(11)
Вираз (11) показує, що в міжгалузевому балансі додержується принцип – єдність матеріального балансу та ватістного складу національного прибутку.
Квадрант I – проміжна продукція, показує розподіл матеріальних витрат по усім виробничим галузям.
Квадрант II – кінцева продукція, яка вийшла з сфери виробництва та попала в сферу збуту. В розгорнутому вигляді ії можна представити як продукцію, яка іде на власне споживання, на суспільні потреби, а також на поповнення ресурсів та експорт.
Квадрант III – характеризує національний дохід з боку його вартісного складу як суму оплати праці та чистого доходу усіх галузей матеріального виробництва.
Квадрант IV – відображення кінцевого розподілу та використання національного доходу.