1.3.Варианты задания
Граничные условия
Вари- анты |
u/AB |
u/BC |
u/CD |
uAD |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
30y 30y 50y(1-y2) 20y 0 30 sin( πy) 30(1- y) 50 sin( πy) 40y2 50y
|
30(1-x2) 30cos(πx/2) 0 20 50x(1-x) 20x 20√x 30√x 40 50(1-x)
|
0 30cos(πy/2) 0 20y2 50y(1-y2) 20y 20y 30y2 40 0
|
0 0 50 sin( πx) 50x(1-x) 50x(1-x) 30x(1-x) 30x(1-x) 50 sin( πx) 40 sin( πx/2) 60, 0 ≤ x < 1/2 60(1-x), 1/2≤ x < 1
|
Лабораторная работа №2
Используя метод сеток, составить решение дифференциального уравнения Лапласа
,
удовлетворяющее на окружности
заданным начальными условиями; шаг
дискретизации h=1. Уточнение
решения производить до сотых долей при
помощи процесса Либмана.
Пример решения задачи.
U (x,y) |Г = 0,5 (|x| + |y|).
Используя симметрию заданных начальных условий, построим решение только в 1 четверти (рис.1). Возьмем шаг h=1 и составим таблицу значений x и y:
-
Х
0
1
2
3
4
У
3
2,90
2,60
1,98
0
Y
2
U4
U8
U9
Рис. 1
На рисунке A, B, C, D, E, F – граничные узлы, Ui , i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 – внутренние.
Вычислим значения функции U (x,y) на границе:
A(0;3); U(A) = 0,5*(0+3) = 1,5,
B(1;2,90); U(B) = 0,5*(1+2,9) = 1,95,
C(2;2,60); U(C) = 0,5*(2+2,6) = 2,3,
D(3;1,98); U(D) = 0,5*(3+1,98) = 2,49,
E(3,77;1); U(E) = 0,5*(3,77+1) = 2,39,
F(4;0); U(F) = 0,5*(4+0) = 2.
Для определения начальных значений функции U(x,y) во внутренних точках составим систему уравнений, содержащих эти значения. Каждое уравнение получается приравниванием значения функции во внутренней точке среднему арифметическому четырех значений функции в соседних точках:
U1 = (1,5 + U4 +2U2)/4, U2 = (1,95 + U1 +U3 +U5)/4, U3 = (4,79 + U2 + U6)/4,
U4 = (U1 + U8 + 2U5)/4, U5 = (U2 +U4 +U6 +U9)/4, U6 = (U3 +U5 + U7 + U10)/4,
U7 = (4,88 + U6 + U11)/4, U8 = 4U5 /4, U9 = (U8 + U10 + 2U5)/4,
U10 = (U9 +U11 + 2U6)/4, U11 = (4,78+2U6)/4.
Решая эту систему, получим U1 = 1,91, U2 = 2,05, U3 = 2,10, U4 = 2,05, U5 = 2,
U6 = 2,18, U7 = 2,34, U8 = 2,11, U9 = 2,13, U10 = 2,19, U11 = 2,28.
Найденные значения функции U(x,y) позволяют составить шаблон №1, в котором внутренние значения соответствуют найденным, а граничные получаются в результате уточнения предыдущих граничных значений по формуле линейной интерполяции
Где Ah – узловая граничная точка, А – ближайшая к Ah точка, лежащая на границе;
Bh
– ближайшая к Ah
узловая точка, лежащая внутри области;
- расстояние между точками А и Ah
, взятое со знаком плюс, если точка Ah
лежит внутри области, и со знаком минус,
если она лежит вне области.
В данной задаче имеем:
№ 1.
1,5 |
1,94 |
2,43 |
|
|
1,91 |
2,05 |
2,10 |
2,49 |
|
2,05 |
2,11 |
2,18 |
2,34 |
2,40 |
2,11 |
2,13 |
2,19 |
2,28 |
2 |
Процесс Либмана заключается в уточнении значений, входящих в шаблон №1. Каждый следующий шаблон получается следующим образом из предыдущего: значения функции во внутренних точках равны среднему арифметическому четырех соседних значений предыдущего шаблона, а значения функции в граничных точках находятся по формуле линейной интерполяции, уже использованной при получении шаблона № 1. Это уточнение производится до тех пор, пока два последовательных шаблона не совпадут с заданной степенью точности. В результате вычислений получим следующую последовательность шаблонов:
№ 2. № 3.
1,5 |
1,94 |
2,31 |
|
|
|
1,5 |
1,94 |
2,33 |
|
|
1,91 |
2,02 |
2,29 |
2,49 |
|
|
1,90 |
2,06 |
2,25 |
2,49 |
|
2,06 |
2,10 |
2,18 |
2,34 |
2,40 |
|
2,05 |
2,10 |
2,23 |
2,32 |
2,41 |
2,09 |
2,13 |
2,19 |
2,22 |
2 |
|
2,10 |
2,12 |
2,18 |
2,22 |
2 |
№ 4 № 5.
1,5 |
1,94 |
2,31 |
|
|
|
1,5 |
1,94 |
2,33 |
|
|
1,92 |
2,05 |
2,28 |
2,49 |
|
|
1,91 |
2,06 |
2,26 |
2,49 |
|
2,05 |
2,12 |
2,21 |
2,34 |
2,40 |
|
2,06 |
2,11 |
2,23 |
2,33 |
2,41 |
2,09 |
2,12 |
2,20 |
2,20 |
2 |
|
2,09 |
2,14 |
2,9 |
2,22 |
2 |
№ 6. № 7.
1,5 |
1,94 |
2,31 |
|
|
|
1,5 |
1,94 |
2,32 |
|
|
1,92 |
2,06 |
2,28 |
2,49 |
|
|
1,92 |
2,06 |
2,27 |
2,49 |
|
2,062 |
2,12 |
2,22 |
2,34 |
2,40 |
|
2,06 |
2,12 |
2,23 |
2,33 |
2,41 |
2,20 |
2,13 |
2,20 |
2,22 |
2 |
|
2,10 |
2,20 |
2,22 |
2,22 |
2 |
№ 8
1,5 |
1,94 |
2,32 |
|
|
1,92 |
2,06 |
2,27 |
2,49 |
|
2,06 |
2,12 |
2,23 |
2,33 |
2,41 |
2,10 |
2,13 |
2,20 |
2,22 |
2 |
Шаблон №8 является ответом.
1.3. Задача. Используя метод сеток, составить решение дифференциального уравнения Лапласа
с заданным начальными условиями; шаг дискретизации h=1. Уточнение решения производить до сотых долей при помощи процесса Либмана.
Варианты задания
1.
(Г), u(x,y)|Г
= |х| + |у|.
2. х2 + у2 = 16 (Г), u(x,y)|Г = |х| + 2 |у|.
3.
(Г), u(x,y)|Г
= |х| |у|.
4. (Г), u(x,y)|Г = 2|х| + |у|.
5.
(Г), u(x,y)|Г
= |х| |у|.
6. х2 + у2 = 16 (Г), u(x,y)|Г =0,5 |х| + |у|.
7. (Г), u(x,y)|Г = |х| +0,5 |у|.
8.
(Г), u(x,y)|Г
= |х| + |у|.
9. (Г), u(x,y)|Г = 2|х| + 0,5|у|.
10.
(Г), u(x,y)|Г
= 0,5||х| +2|
у|.