Лабораторная работа №4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
Постановка задачи. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для уравнения колебания струны
с начальными условиями u(x,0) = f(x), ut (х,0) = Ф(х) (0 ≤ х ≤ 1) и
краевым условиями u(0, t) = (t), u(1, t) = (t).
Решение выполнить с шагом h = 0,1; 0 ≤ t ≤ 0,5.
Теоретические основы метода решения задачи
Рассмотрим смешанную задачу для уравнения колебания струны, заключающуюся в отыскании функции, удовлетворяющей уравнению
(4.1)
а также начальным условиям
u(x,0) = f(x), ut (х,0) = Ф(х) (0 ≤ х ≤ s) (4.2)
и краевым условиям
u(0, t) = (t), u(s, t) = (t), (4.3)
Так как введение переменной = at приводит уравнение (4.1) к виду
(4.4)
то в дальнейшем можем принять а =1.
Построив в полуполосе t O, 0 ≤ х ≤ s (рис. 4.1) два семейства параллельных прямых
x = ih (i = 0,1,2, ..., n), t = j l (j = 0,1,2, .. .),
заменяем производные в уравнении (4.4) разностными отношениями.
t
|
|
|
|
|
|
h |
(i,j+1) |
|
|
(i-1,j) |
(l, j) |
l |
(i+1,j) |
|
|
(i,j-1) |
|
|
|
s
Рис. 4.1
Пользуясь симметричными формулами для производных, будем иметь
(4.5)
Обозначив = l / h, получим разностное уравнение
(4.6)
Доказано, что при ≤ l это разностное уравнение устойчиво.
В частности, при = 1 уравнение (4.6) имеет наиболее простой вид:
. (4.7)
Заметим, что для получения уравнения (4.6) была использована схема узлов, отмеченных на рис. 4.1. Эта схема является явной, так как уравнение (4.6) позволяет найти значения функции и (x, t) на слое t j+1, если известны значения на двух предыдущих слоях. Для того чтобы найти приближенное решение задачи (4.1) - (4.3), необходимо знать значения решения на двух начальных слоях. Их можно найти из начальных условий. Существует три подхода к решению задачи, рассмотрим наиболее употребительный из них.
Заменяем производную ut (x,0) разностным отношением , где ui, -1
значения функции u(x,t) на слое j = -1. Тогда из начальных условий (4.2) будем иметь
ui0 = fi , = Фi. (4.8)
Напишем разностное уравнение (4.7) для слоя j = 0:
(4.9)
Исключив из уравнений (4.8), (4.9) значения ui,-1 получим
ui0 = fi,, , (4.10)
причём xi =0+ ih, (i = 0,1,2, ..., n), n = tj =0+ jh (j = 0,1,2, .. .),
Замечание. Аналогичным образом применяется метод сеток при решении смешанной краевой задачи для неоднородного уравнения.
Пример. Методом сеток найти решение задачи (4.1) – (4.4) при условии
f(x) = 2x(1-x2), Ф(x) = (x+0,4)cos(x+0,3), (t) = 0,5t2, (t) = 0.
Решение по указанным формулам удобно выполнить в таблице, которая и является решением данной задачи.
Порядок заполнения таблицы:
1. Вычисляем значения ui0=f(xi) = 2xi(1— xi 2) при х i = 0,1i и записываем их в первую строку (она соответствует значению t0 = 0).
2. Вычисляем значения u0j = (tj) = 0,5tj2 при tj = 0,1 и записываем их в первый столбец таблицы (он соответствует значению хо = 0).
xi tj |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1.0 |
0 |
0 |
0,198 |
0,384 |
0,546 |
0,672 |
0,750 |
0,768 |
0,714 |
0,576 |
0,342 |
о |
0,1 |
0,005 |
0,2381 |
0,4247 |
0,5858 |
0,7092 |
0,7677 |
0,7942 |
0,7315 |
0,5825 |
0,3354 |
о |
0,2 |
0,02 |
0,2317 |
0,4399 |
0,5879 |
0,6815 |
0,7534 |
0,7312 |
0,6627 |
0,4909 |
0,2405 |
0 |
0,3 |
0,045 |
0,2218 |
0,3949 |
0,5356 |
0,6321 |
0,6450 |
0,6219 |
0,4906 |
0,3207 |
0,1555 |
0 |
0,4 |
0,08 |
0,2082 |
0,3175 |
0,4391 |
0,4991 |
0,5006 |
0,4044 |
0,2799 |
0,1552 |
0,0802 |
0 |
0,5 |
0,125 |
0,1757 |
0,2524 |
0,2810 |
0,3076 |
0,2585 |
0,1586 |
0,6090 |
0,0394 |
-0,0003 |
0 |
3. Заносим значения u10j = (tj) = 0 в последний столбец таблицы (он соответствует значению x10 = 1,0).
4. Вычисляем значения иi 1 по формуле , где fi+1 и fi-1 берутся из первой строки таблицы, а Фi = (xi+0,4)cos(xi+0,3), xi = 0,1i; i =1, 2, ..., 9); h = 0,1.
Результаты записываем во вторую строку таблицы.
5. Вычисляем значения uij в последующих строках по формуле , где значения ui+1,J, ui-1,J, ui,,J-1 берутся из двух предыдущих строк таблицы.
Варианты задания
№1. f(х)=х(х+1), №2. f(х)= x cos πх ,
Ф(x) = cosx, Ф(x) = х(2-х),
(t) = 0, (t) = 2i,
(t) = 2(t+1). (t) = -1.
№ 3. f(х)= cos х(х+1), № 4. f(х)= cos х(х+1),
Ф(x) = x2, Ф(x) = sin(x+0.2),
(t) = 2t+1, (t) = t - 0,5,
(t) = 0. (t) = 3t,
№5. f(х) = 2х(х+1)+0,3; № 6. f(х)= (x+0.2)sin ,
Ф(x) = 2sinx, Ф(x) = 1+x2,
(t) = 0,3; (t) = 0,
(t) = 4,3+t. (t) = 1,2(t+1).
№ 7. f(х)= x sinx πх, № 8. f(х) = 2х(х+1)+0,3
Ф(x) = (х+1)2, Ф(x) = cos(x+0,5),
(t) = 2t, (t) = 2t,
(t) = 0. (t) = 0.
№ 9. f(х)= х(2х-0,5), № 10. f(х)= (x+1) sinx πх
Ф(x) = cos2x, Ф(x) = x2 +x,
(t) = t 2, (t) = 0,
(t) = 1,5. (t) = 0,5t.
№ 11. f(х)= (1-х) cos 0,5πх, № 12. f(х)= 0,5x(x+1)
Ф(x) = 2x+1, Ф(x) = x cosx,
(t) = 2t + 1, (t) =2 t 2,
(t) = 0. (t) = 1.