1. Степенные функции
1.1. . |
||
|
|
|
1.2. , . |
||
|
|
|
1.3. . |
||
|
|
|
1.4. . |
||
|
|
2. Трансцендентные функции
2.1. Показательная . |
2.2. Логарифмическая . |
|
|
3. Тригонометрические функции
|
|
3.1. |
3.2. |
|
|
3.3. |
3.4. . |
|
|
.
4. Обратные тригонометрические функции
|
|
4.1. . . |
4.2. . . |
|
|
4.3. , . |
4.4. . . |
|
|
, , . |
|
5. Гиперболические функции
|
|
5.1. Гиперболический синус . |
5.2. Гиперболический косинус . |
|
|
5.3. Гиперболический тангенс . |
5.4. Гиперболический котангенс . |
|
|
, ,
, .
Непрерывность функции
Определение 1.
Пусть функция определена на множестве и пусть точка . Функция называется непрерывной в точке , если 1) , 2) , 3) .
Функция называется непрерывной в точке ,если по любому можно указать такое , что ,если .
Определение 2.
Функция называется непрерывной в точке , если функция определена в точке и при этом , то есть бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.
Определение 3.
Функция называется непрерывной в точке , если функция определена в точке , существуют односторонние пределы и при этом .
Функция называется непрерывной в точке слева, если функция определена в точке и существует односторонний предел и при этом .
Функция называется непрерывной в точке справа, если функция определена в точке и существует односторонний предел и при этом .
Функция, непрерывная в любой точке множества , называется непрерывной на множестве .
Свойства непрерывных функций
Если функции и определены на множестве и непрерывны в точке , то функции
, , ,
непрерывны в точке , причем частное требует условия .
Если непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке ( и : ).
Если непрерывна на , то она достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней
( ).
О прохождении непрерывной функции через ноль. Если функция y = непрерывна на и имеет на концах отрезка значения и разных знаков, то найдется точка такая, что .
О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Если функция y= - непрерывна на , имеет на концах отрезка значения и число С расположено между числами А и В : , то найдется точка такая, что .
Теорема применяется для отыскания корней уравнения вида методом половинного деления отрезка.
Непрерывность обратной функции
Если:
1) - строго монотонная, непрерывная на ,
2) , то - строго монотонная, непрерывная на .
1). Если исходные функции непрерывны, то в результате их сложения, вычитания, умножения, деления (если знаменатель ), взятия обратной и сложной функций получаются непрерывные функции.
2). Для непрерывной в точке функции справедливо: .
Для непрерывных функций переходить к пределу можно под знаком функций:
а) ,
б) .
Классификация точек разрыва
Если односторонние пределы существуют, причем а функция y = f(x) не определена в точке x0, или то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.
Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию
Если: 1) – точка разрыва ,
2) существуют конечные пределы справа и слева:
,
3)
то точка x0 называется точкой разрыва 1-го рода (неустранимый конечный скачок).