- •7. Тензорный анализ
- •7.1. Аффинное пространство
- •7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве
- •7.3. Криволинейные системы координат в аффинном пространстве
- •7.4. Поля в аффинном пространстве. Локальный базис
- •7.5. Аффинное евклидово пространство
- •7.6. Криволинейные ортогональные системы координат. Физические компоненты тензора
- •7.7. Ковариантная производная векторного поля. Свойства символов Кристоффеля
- •7.8. Ковариантное дифференцирование тензорного поля
- •7.9. Дифференциальные операторы первого порядка
- •7.10. Дифференциальные операторы второго порядка
- •7.11. Тензор Римана-Кристоффеля
- •7.12. Интегральные теоремы
7.12. Интегральные теоремы
Несомненно полезными будут приводимые ниже интегральные формулы, получаемые как обобщения преобразований Гаусса-Остроградского и Стокса [3].
Сначала дадим выражения на основе формулы Гаусса-Остроградского. Рассмотрим область V, ограниченная поверхностью S. Вектор n задает внешнюю нормаль к поверхности. Все векторные и тензорные поля под знаком интегралов будем полагать непрерывными и ограниченными вместе с их первыми производными функциями точек замыкания области V. Область может содержать полости, а направление нормали может испытывать разрывы на кривых поверхности S.
Имеют место формулы для векторного поля t
(7.80)
(интеграл по объему дивергенции вектора равен потоку вектора через ограничивающую поток поверхность),
, (7.81)
и . (7.82)
Для тензорного поля T
, (7.83)
, (7.84)
(7.85)
где x — радиус-вектор, w — аксиальный вектор тензора T (не обязательно кососимметричного),
. (7.86)
Для симметричного T
. (7.87)
Дадим формулы на основе преобразования Стокса. Пусть в объеме V задан замкнутый контур L, сводимый непрерывным преобразованием, не выводящим за ограничивающую объем поверхность, в точку. На контуре строится поверхность S, заключенная в V. Скалярные, векторные и тензорные поля под знаком интегралов рассматриваются непрерывными вместе с первыми производными. Циркуляция предполагает заданным направление обхода вокруг нормали к поверхности S. Тогда справедливы равенства
(7.88)
(циркуляция вектора равна потоку его ротора через поверхность на контуре),
и , (7.89)
, (7.90)
, (7.91)
. (7.92)
В заключение сформулируем утверждение, в курсе математического анализа называемой основной теоремой векторного анализа.
Векторное поле t, удовлетворяющее условию
, (7.93)
называется соленоидальным (вихревым). Соленоидальность поля t означает, что существует другое векторное поле q, такое что
. (7.94)
Векторное поле t, удовлетворяющее условию
, (7.95)
называется потенциальным. Потенциальность поля t означает существование скалярного поля j (потенциала), такого что
. (7.96)
Утверждение (основная теорема векторного анализа).
Произвольное дифференцируемое векторное поле t может быть представлено суммой потенциального t * и соленоидального t** векторных полей
. (7.97)
Действительно, представляя , имеем . Из (7.97)1 , и из (7.97)3 тогда . Последнее уравнение всегда имеет решения (и даже бесчисленное множество их).
Если векторное поле t потенциально, то из (7.88) и (7.95) , откуда легко показать, что
, (7.98)
то есть интеграл вдоль кривой не зависит от выбора этой кривой, а определяется только координатами начальной и конечной точек на ней — разностью потенциалов в этих точках.
Существенно, что рассматриваемый контур сводится непрерывным не выводящим за ограничивающую объем поверхность преобразованием в точку. В противном случае циркуляция по такому контуру не обязательно нуль.
Соотношения (7.93)-(7.98) и имеющие отношение к ним определения и утверждения остаются справедливыми, если заменить в них векторное поле на тензорное. Для тензорного поля T второго ранга: , и аналогично (7.98) мы имеем
, (7.99)
где q называется векторным потенциалом.
* а также в пространствах аффинной и метрической связности и римановом пространстве, изучаемых в курсе дифференциальной геометрии