- •7. Тензорный анализ
- •7.1. Аффинное пространство
- •7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве
- •7.3. Криволинейные системы координат в аффинном пространстве
- •7.4. Поля в аффинном пространстве. Локальный базис
- •7.5. Аффинное евклидово пространство
- •7.6. Криволинейные ортогональные системы координат. Физические компоненты тензора
- •7.7. Ковариантная производная векторного поля. Свойства символов Кристоффеля
- •7.8. Ковариантное дифференцирование тензорного поля
- •7.9. Дифференциальные операторы первого порядка
- •7.10. Дифференциальные операторы второго порядка
- •7.11. Тензор Римана-Кристоффеля
- •7.12. Интегральные теоремы
7.5. Аффинное евклидово пространство
Будем полагать, что в введена какая-либо декартова система координат. Тогда согласно (7.15) векторы локального базиса в каждой точке M Î совпадают с реперными векторами выбранной декартовой системы координат . Сопоставим данному общему для всего базису произвольную фундаментальную (положительно определенную) матрицу . Этим фактически определяется однородное в поле тензора I. Аффинное пространство с однородным полем единичного тензора называется аффинным евклидовым пространством и обозначается .
Если в M Í определена какая-либо криволинейная система координат (7.11), то компоненты фундаментальной матрицы локального базиса ei какой-либо точки запишутся как
, (7.22)
откуда видно, что фундаментальные матрицы локальных базисов различных точек различаются. Если реперным векторам в сопоставлена фундаментальная матрица , то
. (7.23)
С помощью матрицы, обратной фундаментальной, [gij], можно ввести векторы взаимного (сопряженного) базиса в данной точке
. (7.24)
Исследуем метрические свойства евклидова точечного пространства.
Рассмотрим в бесконечно малое приращение dx вектора x, соответствующее паре точек : dx = при M¢® M (характер стремления, например, покоординатный). Если в введена некоторая криволинейная система координат , то, используя формулу полного дифференциала, можно записать
, (7.25)
тогда скалярный квадрат
.
Из положительной определенности матрицы следует, что в любой точке
.
Последнее называют квадратом длины элемента дуги кривой, проходящей через точки M и M¢. Если в параметрически задана гладкая кривая x = x(t), то длина дуги этой кривой может быть найдена по формуле
.
Угол между двумя линейными малыми элементами dx1 и dx2 в данной точке M определяется как
.
Если в качестве криволинейной системы координат принять декартову ортонормированную, то
и данную функцию называют пифагоровой формой.
Из (7.25) следует формула
, (7.26)
представляющая собой формулу Гиббса для малого вектора dx в точке.
7.6. Криволинейные ортогональные системы координат. Физические компоненты тензора
Криволинейная система координат в называется ортогональной, если в любой точке векторы локального базиса удовлетворяют условиям
, (7.27)
что эквивалентно условиям
(7.28)
Таким образом, для ортогональной системы координат матрицы ковариантных и контравариантных компонент метрического тензора в любой точке являются диагональными (но не обязательно одинаковыми для различных точек).
Диагональные элементы матриц часто записывают с помощью коэффициентов Ламе,
, . (7.29)
Из условия взаимной обратности диагональных матриц
. (7.30)
Примерами ортогональных криволинейных систем координат являются рассмотренные ранее цилиндрическая и сферическая системы координат, а также декартова ортогональная (декартова с попарно ортогональными координатными линиями). В п. 7.3 мы ссылались на декартовы ортонормированные системы координат с ортонормированными реперными векторами.
В случае произвольной криволинейной (не декартовой) системы координат, в частности, ортогональной, различные векторы локального базиса в точке могут иметь различную физическую размерность
,
то есть физическая размерность вектора зависит от физической размерности соответствующей координаты . Например, для цилиндрической системы координат координата имеет размерность длины, а соответствующий базисный вектор (реперные векторы аi ортонормированы) — безразмерен; координата безразмерна, а имеет размерность длины. Следовательно, при разложении значения тензорного поля в точке по локальному базису различные компоненты тензора могут иметь различную физическую размерность. В приложениях это часто бывает неудобно. В этом случае для ортогональной криволинейной системы координат вводят безразмерный базис
. (7.31)
Компоненты тензора в базисе, построенном из векторов li, называют физическими компонентами тензора.
Найдем связь физических и контравариантных компонент тензора второго ранга
(7.32)
Аналогично,
(7.32¢)
Если рассмотреть замену одной ортогональной криволинейной системы координат на другую, то для компонент векторного поля в локальном базисе точки будут справедливы обычные формулы преобразования компонент вектора (1.8)-(1.34), где матрицы и определяются в каждой точке выражениями (7.17). Однако физические компоненты тензора при таких заменах координат не будут подчиняться данному закону преобразования, в чем предлагается убедиться самостоятельно.