- •7. Тензорный анализ
- •7.1. Аффинное пространство
- •7.2. Декартовы системы координат в аффинном пространстве
- •7.3. Криволинейные системы координат в аффинном пространстве
- •7.4. Поля в аффинном пространстве. Локальный базис
- •7.5. Аффинное евклидово пространство
- •7.6. Криволинейные ортогональные системы координат. Физические компоненты тензора
- •7.7. Ковариантная производная векторного поля. Свойства символов Кристоффеля
- •7.8. Ковариантное дифференцирование тензорного поля
- •7.9. Дифференциальные операторы первого порядка
- •7.10. Дифференциальные операторы второго порядка
- •7.11. Тензор Римана-Кристоффеля
- •7.12. Интегральные теоремы
7.9. Дифференциальные операторы первого порядка
Свертывая набла-вектор различными способами с тензором, определяют различные дифференциальные операторы первого порядка, не зависящие от выбора системы координат. Последнее свойство делает эти операторы удобными в применении в физике и механике сплошной среды.
7.9.1. Градиент тензора
Рассмотрим сначала скалярное поле , где j — непрерывно дифференцируемая функция 3 переменных. Тогда, с использованием (7.26), дифференциал этой функции преобразуется к виду
. (7.47)
Выражение в скобках (7.47) по теореме об обратном тензорном признаке есть линейная форма (вектор). Этот вектор называется градиентом скаляра и обозначается
, (7.48)
где использован введенный ранее набла-оператор Ñ. Градиент скаляра можно трактовать как тензорное произведение вектора Ñ и скаляра j.
Для векторного поля рассуждения аналогичны. Пусть — векторное поле, тогда
. (7.49)
По теореме об обратном тензорном признаке выражения в скобках (7.49) есть тензоры II ранга, которые обозначаются соответственно
и (7.50)
и называются транспонированным градиентом вектора и градиентом вектора. Запись градиента вектора с использованием набла-оператора можно трактовать как тензорное произведение векторов Ñ и t, а транспонированного градиента вектора — как тензорное произведение векторов t и Ñ. Следует обратить внимание на то, что в символической записи дифференциальный оператор действует на стоящий перед ним объект (вектор), а все различие между и сводится только к последовательности следования базисных векторов (см. внимательнее (7.50)).
Производная векторного поля по криволинейной координате может быть представлена через ковариантные производные контравариантных и ковариантных компонент вектора
.
Тогда
(7.51)
. (7.51¢)
То есть, ковариантные производные контравариантных и ковариантных компонент являются соответственно смешанными и ковариантными компонентами тензора II ранга — градиента вектора.
Введем формально операцию контравариантного дифференцирования
.
Тогда могут быть определены остальные контравариантные и смешанные компоненты тензоров и
,
.
Градиент тензорного поля определяется как тензорное произведение набла-вектора на тензор
.
Соответственно градиент тензора ранга p есть тензор ранга p + 1. С использованием операции ковариантного дифференцирования градиент тензора может быть представлен
Можно рассмотреть транспозиции градиента тензора по первому и (s+1)-му индексам ( ) в полиадной записи
.
Определим понятие производной по направлению. Для скалярного поля производная по направлению единичного вектора n определяется как
.
Для векторного поля
и для поля тензора
.
С помощью производной по направлению можно указать геометрический смысл градиента скалярного поля : указывает направление наиболее быстрого возрастания скаляра j из данной точки
.
Записывая согласно (7.51) в компонентах диадного базиса aiak декартовой ортонормированной системы координат, получим
.
Умножая скалярно или векторно пару первых базисных векторов градиента тензора, мы получим новые дифференциальные операции.
7.9.2. Дивергенция тензора
Дивергенцией тензорного поля называется тензор ранга p - 1, который определяется как скалярное произведение оператора Гамильтона на данный тензор
. (7.52)
С использованием операции ковариантного дифференцирования дивергенцию можно записать как
.
Для векторного поля
(7.53)
Понятие дивергенции скаляра лишено смысла.
Исследуем физический и геометрический смысл дивергенции вектора.
Для поля скоростей в некоторой области пространства AE3, занимаемой сплошным деформируемым телом, divv характеризует скорость относительного изменения бесконечно малого объема движущейся среды. В декартовой ортогональной системе координат
.
Помещая начало координат в рассматриваемую точку и принимая в этой точке v = 0, будем иметь
,
где V есть объем параллелепипеда со сторонами x1, x2, x3. То есть, условие несжимаемости (или постоянства объема) среды в точке может быть записано как
.
Более строго: дивергенция векторного поля есть отношение потока вектора через поверхность бесконечно малого объема к величине этого объема, то есть
(n — внешняя нормаль к поверхности, S — площадь, V — объем области).
Записывая согласно (7.53) в компонентах базиса декартовой ортонормированной системы координат, получим
7.9.3. Ротор тензора
Ротором (вихрем) тензорного поля называется тензорное поле того же ранга, определяемое векторным произведением оператора Гамильтона на данный тензор
. (7.54)
Для скалярного поля эта операция не определена. Для векторного поля
(7.55)
Если представить диаду разложением (2.16)-(2.17)
, (7.56)
то
, (7.57)
где t — ассоциированный вектор (3.23).
Полученная формула позволяет выявить физический смысл ротора векторного поля. Для поля вектора скорости компоненты разложения (7.56)
называются соответственно тензором деформации скорости, , и тензором вихря, . Вектор , вихрь вектора скорости, — есть угловая скорость квазитвердого вращения частицы сплошной среды в данной точке пространства.
Можно показать, что проекция ротора векторного поля t на любое направление n равно отношению циркуляции поля по бесконечно малому контуру, перпендикулярному n, к площади, охватываемой этим контуром,
. (7.58)
Для вращательного движения абсолютно твердого тела с угловой скоростью справедлива формула Эйлера
(v — скорость материальной точки тела с радиусом-вектором x). Используя ее в (7.58) для вращения вокруг оси Oz, получаем
,
где . Итак, в данном примере модуль ротора поля скоростей абсолютно твердого тела равен удвоенному модулю его угловой скорости.
Записывая согласно (7.55) в компонентах декартовой ортонормированной системы координат, получим
. (7.59)