8.6. Контрольные вопросы
1.
Какая функция называется неявной?
Приведите пример уравнения вида
,
определяющего неявную функцию, и пример
уравнения, не определяющего неявную
функцию.
2.
Сколько непрерывных неявных функций
вида
определяет уравнение
в окрестности точки О(0,
0)?
3. Сформулируйте теорему о существовании, единственности и непрерывности неявной функции, определяемой уравнением . Докажите существование и единственность этой функции.
4.
Докажите, что уравнение
не определяет неявную функцию в
прямоугольнике
.
Какое условие теоремы 10.1 не выполнено
в данном случае?
5.
Приведите примеры, когда невыполнение
условия
:
а) приводит к неразрешимости уравнения относительно у в окрестности точки или к не единственности решения;
б) не нарушает существования и единственности неявной функции вида , определяемой уравнением в окрестности точки .
6.
Докажите, что уравнение
не определяет неявной функции в достаточно
малой окрестности точки (1, 1). Какое
условие теоремы 10.2 не выполнено в данном
случае?
7.
Уравнение
определяет в окрестности точки
не дифференцируемую в точке
функцию
.
Какое условие теоремы 10.2 не выполнено
в данном случае?
8.
Уравнение
определяет в любой окрестности точки
три
дифференцируемые функции:
.
Какое условие теоремы 10.2 не выполнено
в данном случае?
9.
Вычислите производные
и
неявной функции
,
определяемой уравнением
и удовлетворяющей условию
,
двумя способами: а) используя формулы
(3) и (4); б) используя явное выражение для
функции
.
10. Сформулируйте теорему о существовании, единственности и дифференцируемости совокупности неявных функций, определяемых системой уравнений.
11. Сформулируйте определение условного экстремума функции.
12.
Объясните, в чем состоит метод исключения
части переменных. Сведите задачу об
условном экстремуме функции
при условии связи
к задаче о безусловном экстремуме.
13. Что такое функция Лагранжа? Сформулируйте теорему о необходимых условиях Лагранжа условного экстремума.
8.7. Примеры решения задач
1.
Доказать, что уравнение
определяют единственную неявную функцию
вида
,
и найти
.
Решение.
Введем обозначение
.
Так как
,
то при любом фиксированном значении х
функция
является возрастающей функцией аргумента
у.
Кроме того, для любого фиксированного
значения х
при достаточно больших значениях
,
очевидно, выполняются неравенства
при
при
.
Поскольку
– непрерывная функция, отсюда следует,
что
существует единственное у
такое, что
,
т.е.
уравнение имеет единственное решение
относительно у.
Это и означает, что уравнение определяет
единственную неявную функцию вида
.
Так
как
– дифференцируемая функция и
,
то и функция
дифференцируема на всей числовой прямой.
Для нахождения
воспользуемся формулой (3):
Дифференцируя , найдем
.
Чтобы
найти значения
и
в какой-либо точке х,
нужно сначала вычислить соответствующее
значение
.
Пусть
.
Нетрудно проверить, что решением
уравнения при
является
,
т. е.
.
Подставляя
в формулы для
и
,
получаем
,
.
2.
Найти производные
и
неявной функции
,
заданной
уравнением
(42)
и
удовлетворяющей условию
.
Решение.
Функция
дифференцируема в любой окрестности
точки (0,1). Производная
непрерывна в точке (0,1). Наконец,
,
т.е. выполнены все условия теоремы 10.2.
Поэтому в некоторой окрестности точки
(0, 1) уравнение (42) определяет единственную
дифференцируемую неявную функцию вида
,
причем
.
Более того, так
как функция
дважды
дифференцируема в любой окрестности
точки (0, 1), то и функция
дважды дифференцируема в некоторой
окрестности точки
.
Производные
и
можно найти по правилу дифференцирования
неявных функций, а затем, полагая
,
вычислить
и
.
Однако удобнее
поступить следующим образом. Предполагая,
что функция
подставлена в уравнение (42), продифференцируем
полученное тождество
по х:
.
(43)
Полагая
в равенстве (43)
,
,
получаем
,
откуда
.
Чтобы найти вторую производную,
продифференцируем тождество (42) по х:
.
Полагая
,
,
,
получаем
,
откуда
.
Итак,
.
3. Найти производные первого и второго порядков неявной функции , заданной уравнением
.
(44)
Решение.
Левая часть уравнения (44) не определена
при
.
Будем считать, что
.
Предположим, что уравнение (44) определяет
дважды дифференцируемую неявную функцию
.
Подставляя ее и дифференцируя полученное
тождество по х,
приходим
к равенству
.
(45)
Уравнение
(45) можно упростить, если воспользоваться
исходным уравнением (44). А именно, из
уравнения (44) следует,
.
Поэтому
уравнение (45) можно записать так:
Отсюда находим
.
(46)
где . Для вычисления второй производной можно продифференцировать тождество (45) по х и, получив линейное относительно у" уравнение, найти вторую производную. Однако в данном случае удобнее воспользоваться равенством (46), из которого следует
.
Подставляя
в последнее равенство выражение для
,
окончательно находим
.
4. Методом исключения переменных найти экстремум функции
(47)
при условиях связи
(48)
Решение. Решая систему уравнений (54) относительно y и z, находим
.
(49)
Подставляя
выражение (49) в равенство (47), приходим
к функции одной переменной
:
,
для которой рассмотрим задачу о
безусловном экстремуме. Так как
при
,
то функция
имеет единственную точку возможного
экстремума. Но
,
поэтому при
функция
имеет минимум. Из системы (55) находим
соответствующие
значения у
и
:
.
Итак, функция (47) при условиях связи (48)
имеет в точке
минимум, причем
.
5. Методом Лагранжа найти экстремум функции (47) при условиях связи (48).
Решение. Составим функцию Лагранжа
и рассмотрим систему уравнений:
Она
имеет единственное решение:
,
т. е.
– единственная точка возможного
экстремума функции (47) при условиях
связи (48). Отметим, что в окрестности
точки
система (48) определяет единственную
пару неявных функций
,
.
Хотя
в данном случае их легко найти в явном
виде,
нам эти явные выражения не понадобятся.
Предполагая, что в систему (48) подставлено
ее решение
,
,
и
дифференцируя полученные
тождества, приходим к равенствам
Отсюда находим
(
Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа:
,
и,
подставляя
и выражение (54) для dz,
получаем положительно определенную
квадратичную форму от одной переменной
:
.
Отсюда следует, что функция (47) при
условиях связи (48) имеет в точке
условный минимум.