7.2. Неравенство Чебышева.

Теорема. Для любой случайной величины , имеющей конечную дисперсию , и произвольного положительного числа выполняется неравенство

, (1)

которое называется первым неравенством Чебышева

Доказательство. Так как неравенство

(2)

эквивалентно неравенству вида

, (3)

то вероятности неравенств (2) и (3) равны

(4)

Введем обозначения:

, .

Математическое ожидание случайной величины существует, так как

.

Поэтому к случайной величине , которая принимает только неотрицательные значения, можно применить неравенство Маркова

откуда с учетом обозначений получаем

или

.

Следствие. Для любой случайной величины имеющей конечную дисперсию , и произвольного положительного числа выполняется неравенство

, (5)

которое называется вторым неравенством Чебышева.

Доказательство. Так как события и противоположны, то

,

откуда с учетом неравенства Чебышева (1) получаем второе неравенство Чебышева

.

Отметим, что неравенства Чебышева выполняются при любом законе распределения случайной величины лишь при условии, что дисперсия конечна.

7.3. Частные случаи неравенства Чебышева. Неравенство Бернулли

Рассмотрим схему независимых повторных испытаний Бернулли, т.е. будем предполагать, что производится независимых повторных испытаний, в каждом из которых событие наступает с одной и той же вероятностью .

Первый частный случай.

Теорема. Вероятность того, что частота наступления события в независимых повторных испытаний отклонится от по модулю на величину не превосходящую определяется по формуле

. (1)

Доказательство. Если случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения, то ее числовые характеристики вычисляются по формулам (см. ):

, (2)

. (3)

Поэтому второе неравенство Чебышева

для случайной величины с учетом формул (2) и (3) можно записать в виде

.

Второй частный случай Неравенство Бернулли.

Теорема. Вероятность того, что относительная частота наступления события в независимых повторных испытаниях отклонится от вероятности наступления события в отдельном испытании по модулю на величину, не превосходящую , определяется по формуле

. (4)

Доказательство. Рассмотрим случайную величину - относительную частоту наступления события в независимых повторных испытаниях. Известно, что ее числовые характеристики вычисляются по формулам (см. ):

, (5)

. (6)

Поэтому второе неравенство Чебышева

для случайной величины с учетом формул (5) и (6) можно записать в виде

.