- •§7. Закон больших чисел и предельные теоремы
- •7.1. Неравенство Маркова.
- •7.2. Неравенство Чебышева.
- •7.3. Частные случаи неравенства Чебышева. Неравенство Бернулли
- •Первый частный случай.
- •Второй частный случай Неравенство Бернулли.
- •Сходимость по вероятности
- •Теорема Чебышева
- •Интегральная теорема Муавра – Лаплапса.
Сходимость по вероятности
Напомним, что в математическом анализе было дано следующее определение сходимости числовой последовательности.
Определение. Числовая последовательность сходится к числу , если для любого числа , существует такой номер , что при всех выполняется неравенство
.
Рассмотрим теперь последовательность случайных величин , для которой введем понятие сходимости по вероятности.
Определение. Последовательность случайных величин , сходится по вероятности к величине , если для любого числа , вероятность выполнения неравенства с увеличением стремится к единице, т.е.
.
Отметим различия в определениях сходимости числовой последовательности и сходимости по вероятности последовательности случайных величин. Для сходимости числовой последовательности существенно существование номера , начиная с которого выполняется неравенство .
В случае сходимости по вероятности такого номера не существует. Возможно, что сколь большим ни было число , неравенство выполняться не будет. Из равенства (1) только следует, что при больших выполнение неравенства является событием практически достоверным, а выполнение неравенства противоположного смысла – событием практически невозможным.
Теорема Чебышева
Теорема Чебышева. Если случайные величины , ,…, независимы, имеют соответственно математические ожидания , ,…, и дисперсии , ,…, , каждая из которых ограничена одним и тем же числом , то с возрастанием средняя арифметическая случайных величин , ,…, сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий
Доказательство. Обозначим через среднюю арифметическую заданных случайных величин , ,…,
.
Найдем числовые характеристики случайной величины .
Воспользовавшись свойствами математических ожиданий, находим
. (2)
Так как случайные величины , ,…, независимы, то на основании свойств дисперсии имеем
. (3)
По условию дисперсии всех случайных величин ограничены одним и тем же числом , т.е.
.
Таким образом, из равенства (3) получаем, что для случайной величины имеет место оценка
.
На основании второго неравенства Чебышева, записанного для случайной величины , получаем
,
Откуда с учетом равенств (1), (2), (3) получаем
Теорема Бернулли
Интегральная теорема Муавра – Лаплапса.