I уровень
1.1. Запишите многочлен в стандартном виде:
1)
2)
1.2. Найдите значение многочлена при
1)
2)
1.3. Выполните деление многочлена
результат запишите в виде равенства:
1)
2)
1.4. Найдите (если они существуют) целые корни многочлена:
1)
2)
1.5. Разложите многочлен на множители:
1)
2)
3)
4)
5)
II уровень
2.1. Выполните действия, запишите результат в стандартном виде, определите старшую степень многочлена:
1)
2)
2.2. Не выполняя деления, проверьте,
делится ли данный многочлен
на:
1)
2)
Если не делится, укажите остаток от деления.
2.3. Найдите частное и остаток от деления:
1)
2)
2.4. Выполните действия и найдите
значение выражения при
2.5. Найдите коэффициенты A и B из равенства
2.6. Разложите многочлен на множители:
1)
2)
3)
III уровень
3.1. Известно, что многочлен
имеет целые корни. Найдите значение ,
при котором они существуют.
3.2. Сократите дробь
3.3. Найдите:
1) наибольшее значение выражения
и определите, при каких a и b оно
достигается;
2) наименьшее значение многочлена
3.4. Найдите сумму всех целых значений n, при каждом из которых значение выражения:
1)
является целым числом;
2)
является натуральным числом;
3)
является натуральным числом.
3.5. Разложите на множители:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2.3. Рациональные дроби
Рациональной дробью называется выражение вида
(2.7)
где
– многочлены степени n и m
соответственно и
Если для рациональной дроби (2.7) выполняется
то дробь называется неправильной,
если
– дробь называется правильной.
Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей:
I.
II.
III.
и у квадратного трехчлена
IV.
и у квадратного трехчлена
Алгоритм разложения дроби (2.7) на простейшие дроби:
1. Если
необходимо выделить целую часть делением
многочлена
на многочлен
где
– многочлен-частное (целая часть);
– правильная дробь.
2. Разложить на множители:
(2.8)
где
3. Если разложение знаменателя имеет вид (2.8), то дробь можно представить в виде суммы простейших дробей:
(2.9)
где
– неопределенные коэффициенты, которые
необходимо найти.
4. Для нахождения коэффициентов привести
правую часть равенства (2.9) к общему
знаменателю, который будет равен
знаменателю исходной дроби, т. е.
5. Приравнять числители дробей.
6. Вычислить значения неопределенных
коэффициентов
и
т. д. Для вычисления данных коэффициентов
используют следующие методы:
а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены в левой и правой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя;
б) метод частных значений: придать
произвольные значения переменной х
(удобнее использовать значения
и т. д.) и получить равенства для
исходных коэффициентов;
в) комбинирование методов а) и б).
7. Подставить полученные числовые значения коэффициентов в равенство (2.9), что и будет искомым разложением.
Пример 1. Разложить на простейшие дроби:
1)
2)
3)
4)
5)
Решение. 1)
Так как дробь
неправильная, выделим целую часть,
разделив числитель на знаменатель по
правилу деления многочленов. Получим
Для правильной дроби запишем общий вид разложения:
Так как равны знаменатели, то приравниваем числители:
Коэффициенты вычислим методом частных значений. Подставим в последнее выражение последовательно х = 1, х = –3, х = 4.
При
получим
При
получим
При
получим
Таким образом,
2) Запишем общий вид разложения на простейшие дроби соответственно виду множителя знаменателя:
Найдем коэффициенты
методом неопределенных коэффициентов:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. Получаем
Пришли к системе уравнений:
Решаем ее:
Таким образом, получаем
или
3) Выделим целую
часть дроби
так как она неправильная:
Знаменатель
полученной правильной дроби
разложим на множители и запишем общий
вид разложения:
Вычислим коэффициенты, используя метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений:
подставим
получим
Запишем многочлен в стандартном виде и используем равенство многочленов:
При
система имеет вид:
Из нее находим:
Поэтому
4) Разлагаем
знаменатель дроби
на множители:
Записываем общий вид разложения
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и решаем систему:
Получаем
5) Знаменатель дроби уже разложен на множители. Записываем общий вид разложения на сумму простейших дробей:
При
получаем
Тогда
При
система имеет вид:
Поэтому получаем:
Задания