I уровень
1.1. Найдите область определения функции:
1)
2)
3)
4)
1.2. Исследуйте функцию на свойство четности:
1)
2)
3)
4)
1.3. Найдите множество значений функции:
1)
2)
3)
4)
1.4. Определите промежутки монотонности, нули, промежутки знакопостоянства функции f(x):
1)
2)
3)
4)
1.5. Задана функция y = f(x), x [a; b). Продолжите ее на всю числовую ось, как периодическую с периодом Т:
1)
где
2)
где
II уровень
2.1. Найдите область определения функции:
1)
2)
3)
4)
2.2. Найдите множество значений функции:
1)
2)
3)
4)
2.3. Задайте функцию аналитически:
1) линейную, если
2) квадратичную, если
3) обратную пропорциональную зависимость, если f(4) = 1.
2.4. Исследуйте функцию на четность:
1)
2)
3)
4)
2.5. Докажите, что функция:
1)
убывает на
2)
возрастает на
2.6. Исследуйте функцию на монотонность:
1)
2)
2.7. Постройте график функции:
1)
2)
3)
4)
Опишите свойства функции, используя график.
2.8. Пусть
Известно, что функция
имеет период Т = 4. Постройте ее
график.
2.9. Задана функция
если
1) достройте ее график по четности и продолжите на всю числовую ось с периодом Т = 8;
2) достройте ее график по нечетности и продолжите его на всю числовую ось с периодом Т = 8.
III уровень
3.1. Исследуйте функцию на четность. Найдите ее нули:
1)
2)
3.2. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности:
Постройте график.
3.3. Дана функция
Найдите промежуток, на котором она
убывает.
3.4. Определите, при каком значении
а функция
является периодической.
3.5. Найдите функцию
если:
1)
2)
3.6. Определите, при каком значении
аргумента значение функции
равно –1.
3.7. Определите, при каких значениях
х график функции
расположен выше графика функции
4.2. Обратная функция. Функция, заданная неявно
и параметрически
Функция
где
называется обратимой на множестве
если каждому значению у из множества
значений функции
соответствует единственное значение
Если
– обратимая функция, то на множестве
определена функция g, которая каждому
значению
ставит в соответствие
такое, что
т. е. определена
Поэтому
Функция g называется обратной функцией к f.
Функции f и g
называются взаимно-обратными
функциями. Графики взаимно-обратных
функций f и g
симметричны относительно прямой
Если функции f и
g взаимно-обратны,
то
и
Для нахождения обратной функции из равенства выражают х через у (если это возможно), а затем переобозначают переменные (через х – независимую переменную, через у – зависимую).
Пусть у является функцией переменной
u, а переменная u,
в свою очередь, является функцией от
переменной x, т. е.
и
Тогда функция
называется сложной
функцией
(или функцией
от функции),
если область определения функции f
содержит множество значений функции
.
Переменная u
в этом случае называется промежуточной
переменной.
Всякую линию на координатной плоскости, которая не имеет разрывов, называют кривой линией.
График функции который не имеет разрывов, является кривой линией. Однако не всякая кривая линия является графиком функции (график функции задается при условии, что каждому значению х соответствует единственное значение y).
Говорят, что функция
задана неявно уравнением
(4.2)
где F – некоторое
выражение от переменных x,
y при условии
Функцию, заданную явно уравнением можно привести к виду (4.2):
(4.3)
(в равенстве (4.3)
).
Однако не всякую функцию, заданную
неявно, можно задать в виде
Уравнение (4.2) не всегда однозначно
разрешимо относительно переменной у
или вообще не разрешимо. Оно задает
часто кривую линию, но не график функции.
Для нахождения точки, лежащей на линии, которая задается уравнением (4.2), необходимо придать переменной x некоторое числовое значение, а затем из уравнения (4.2) найти соответствующее значение y (возможно, несколько значений y). Для построения соответствующей кривой придают переменной x некоторое количество числовых значений, получают множество точек, принадлежащих искомой линии (4.2). Эти точки следует соединить непрерывной линией.
Уравнения вида
(4.4)
называют параметрическими уравнениями
линии, где t – параметр или
вспомогательная переменная, а
и
– функции параметра t.
Каждому значению параметра t из
заданного промежутка
соответствуют определенные значения
х и у (вычисляемые по формулам
(4.4)), которые и определяют положение
точки
в системе координат Oxy.
Для построения линии, заданной
параметрическими уравнениями, выбирают
достаточное количество значений
параметра
где
вычисляют соответствующие значения
Затем на координатной плоскости отмечают
точки
которые потом соединяют непрерывной
линией.
Чтобы от уравнений (4.4) перейти к уравнению
типа
необходимо исключить параметр t
из уравнений системы (4.4).
Пример 1. Найти функцию, обратную данной (если она существует), и построить графики данной функции и ей обратной в одной системе координат:
1)
2)
Решение.
1) Функция
монотонна, поэтому для нее существует
обратная функция. Выразим х
через у:
т. е.
Обозначим независимую переменную через х, а зависимую – через у:
Обратная
к заданной функции f
есть функция
и она имеет вид:
где
а
Строим графики
функции f
и
(рис. 4.5).
2) Так как функция
не является монотонной на промежутке
то обратной функции
для нее не существует.
Рис. 4.5
Пример 2.
Из уравнения окружности
выразить явно у
через х.
Решение.
Из уравнения
выразим
откуда получаем совокупность двух
функций
Графиком первой
функции в совокупности является
полуокружность, расположенная в верхней
полуплоскости системы Оху,
при условии, что
Графиком второй функции – полуокружность
в нижней полуплоскости при условии, что
Пример 3. Построить кривую, заданную параметрически уравнениями
Решение.
Для построения кривой выберем достаточное
количество значений параметра
и вычислим соответствующие значения
Данные занесем в таблицу:
t |
|
|
|
|
|
x |
4 |
0 |
–4 |
–8 |
–12 |
y |
0 |
2 |
|
|
4 |
Построим точки
в системе координат Оху
и соединим их плавной линией (рис. 4.6).
Рис. 4.6
Задания