- •Лабораторная работа №5. Решение систем линейных уравнений.
- •Часть 1.
- •Содержание.
- •5.1 Метод Гаусса.
- •5.2 Погрешность решения системы. Нормы матриц. Обусловленность систем.
- •5.3 Итерационное уточнение решения линейной системы.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Задания к лабораторной работе.
- •Приложение 1. Вычисление нормы матрицы согласованной с евклидовой нормой вектора.
- •Литература.
Задания к лабораторной работе.
Решить системы уравнений, с максимально возможной точностью, для данных одинарной точности :
.
Основная матрица системы порядка одинакова для всех вариантов и ее элементы равны .
Вектор правых частей, в каждом варианте получается расчетом значений функции , для , с шагом .
Порядок выполнения работы:
Составить и отладить процедуры, реализующие прямой ход метода Гаусса.
На основании полученных процедур составить подпрограмму расчета матрицы, приводящей матрицу к верхнему треугольному виду.
Составить и отладить подпрограмму расчета числа обусловленности матрицы и провести расчет.
Выполнить обратный ход метода Гаусса.
Провести расчет невязки и уточнить полученное решение.
Приложение 1. Вычисление нормы матрицы согласованной с евклидовой нормой вектора.
Мы уже отмечали, что величина нормы матрицы и число обусловленности зависят от выбора типа нормы. Если для норм и их расчет производится по явным формулам достаточно просто, то вычисление числа обусловленности требует знания обратной матрицы9, что, вообще говоря, эквивалентно решению системы и поэтому простота расчета указанных норм не гарантирует простоту расчета числа обусловленности матрицы.
Для подсчета евклидовой нормы матрицы , с отличным то нуля определителем введем , заметим, что данная матрица является симметричной. Более того, для любого вектора
,
следовательно, матрица положительно определена. Это означает, что все ее собственных значений положительны, так что мы можем их обозначить через , причем можно положить
,
эти числа называют сингулярными числами матрицы . Из теории вещественных симметрических матриц следует, что можно найти ортогональную матрицу , такую, что
,
где - диагональная матрица с элементами . Теперь определим матрицу как
.
Тогда , так что матрица является диагональной. Более того, последнее равенство показывает, что различные строки матрицы ортогональны друг другу . Построим ортонормированную систему вектор-строк , для . Пусть - матрица строками которой являются вектора
,
тогда и следовательно . Тем самым доказана:
Теорема. Для любой невырожденной матрицы существуют две вещественные ортогональные матрицы и , такие, что диагональная матрица . Более того, можно выбрать и так, чтобы диагональные элементы имели вид:
.
Из этой теоремы следует, что и норма , следовательно . Т.е., для вычисления числа обусловленности матрицы достаточно найти максимальное и минимальное собственные значения матрицы и окончательно . Укажем итерационный алгоритм, принадлежащий Л. А. Люстернику, который позволяет найти наибольшее собственное значение симметричной положительно определенной матрицы . Рассмотрим итерационный процесс
, причем - произвольный ненулевой вектор. Покажем, что
.
Для этого представим в виде разложения по полной системе собственных векторов матрицы ,
.
После -той итерации будем иметь:
.
Перепишем последнее равенство в виде:
,
где в первой сумме выписаны собственные векторы, принадлежащие собственному значению . На основании этого равенства имеем
.
Переходя к пределу, при получим:
.
Переходя в этом соотношении к норме, получим искомый результат:
. (1)
Минимальное собственное значение матрицы можно получить, если найти максимальное собственное значение матрицы , которое связано с соотношением
.
Замечание. При реализации итерационного процесса основанного на формуле (1), для сокращения числа арифметических операций дробь в правой части формулы можно вычислять не для всех значений , а с некоторым разумным интервалом, например через каждые десять шагов итерации.