- •1.Целые и рациональные числа.
- •2.Действительные числа.
- •3. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. Арифметические действия с действительными числами.
- •4.Числовая прямая.
- •5.Приближенные значения величин. Погрешность приближения.
- •6.Оценка погрешности.
- •7.Сложение и вычитание приближенных величин.
- •8.Умножение и деление приближенных величин.
- •9.Относительная погрешность.
2.Действительные числа.
Все числа представимые бесконечными десятичными дробями , образуют множество действительных чисел. Познакомимся с одним из способов построения теории действительных чисел в общих чертах.
Принимают:
а) каждому действительному числу соответствует (в качестве его записи) бесконечная десятичная дробь: ;
б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.
Но при этом естественно считать десятичную дробь, заканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь второй записью числа, выражающегося десятичной дробью, заканчивающейся бесконечной последовательностью нулей:
Такое соглашение поясним примером: . Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получаем взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей.
Вводят правило сравнения двух действительных чисел х и у .
Если целая часть числа х меньше целой части числа у, то сам о число х меньше числа у. Для сравнения двух чисел, целые части которых равны, приходится обращаться к их дробным частям.
Например, , так как у этих чисел равны целые части и три первых десятичных знака после запятой, а четвертый знак после запятой у числа в левой части меньше: .
Правило сравнения действительных чисел, записанных в виде бесконечных десятичных дробей, можно сформулировать так: .
Принимают определения арифметических действий ( операций) над действительными числами: сложения и умножения, вычитания и деления. ( см. следующий пункт)
Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные в множестве действительных чисел, сохраняют основные свойства, присущие им в множестве рациональных чисел.
Модуль действительного числа определяется так же ,как и модуль рационального числа:
.
Например, если , то .
3. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. Арифметические действия с действительными числами.
Для числа число называют десятичным приближением по недостатку с точностью до ( или с точностью до n знаков), а число десятичным приближением по избытку с точностью до . Из правил сравнения действительных чисел следует, что .
Пример 1. Запишем десятичные приближения числа по недостатку и избытку с точностью до 1, до 0,1, до 0,01, ..., до 0,00001:
С помощью десятичных приближений определяются операции сложения и умножения действительных чисел. Эти определения даются, исходя из следующих соображений.
Если и рациональные числа, то сумма уже определена, причем для любого n выполнены неравенства
.
Это свойство суммы должно быть сохранено и для произвольных действительных чисел (хотя бы для того, чтобы их сумму можно было находить приближенно). В курсах математического анализа доказывается, что для любой пары действительных чисел и существует единственное число такое, что при любом выполняется неравенство
Это число называется суммой чисел и (обозначается ).
Пример 2. Найдем первые четыре десятичных знака суммы , где .
Здесь многоточием отмечены следующие десятичные знаки, которые для решения не нужны. Для заданных чисел выпишем десятичные приближения с точностью до пяти знаков. Тогда
.
Вы видите, что слева и справа совпадают четыре десятичных знака. Следовательно .
Ответ: .
Произведение неотрицательных действительных чисел определяется аналогично. Можно доказать, что для любой пары неотрицательных действительных чисел и существует единственное число действительное число такое, что при любом выполняется неравенство
.
Это число называется произведением чисел и (обозначается ).
Для действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел и уже определено, полагают: ; в остальных случаях .
Вычитание определяется, как действие обратное сложению, деление – как действие, обратное умножению.
Пользуясь определениями арифметических операций, получаем основные свойства модуля :
; ; .