4.Числовая прямая.

Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой (рис. 1).

Покажем, например, как можно геометрически указать на числовой прямой точку с координатой . Построим квадрат со стороной (рис. 2) и с помощью циркуля отложим диагональ ОА на числовой оси.

Заметим, что если бы не было иррациональных чисел и соответствующих им точек числовой оси, то прямая оказалась бы с «дырочками».

Множество действительных чисел «заполняет» всю числовую прямую: каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число.

5.Приближенные значения величин. Погрешность приближения.

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближенными значениями различных величин. Приближенные значения обычно получаются в следующих случаях: при подсчете большого количества предметов, например числа деревьев в лесу, при измерениях с помощью приборов различных величин, например длины, массы, температуры, при округлении чисел.

Рассмотрим несколько примеров:

1. В классе 28 учеников;

2. В килограмме пшеницы содержится 30 000 зерен;

3. Расстояние от Земли до Солнца 1,5*10⁸ км.

Разность между точным значением величины и ее приближенным значением называется погрешностью приближения. Если погрешность отрицательна, то говорят, что приближение взято с избытком, если положительна – с недостатком.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается .

Задача 4. При нахождении суммы внутренних углов треугольника с помощью транспортира получили результат .Какова абсолютная погрешность этого приближения?

# Точное значение , приближенное

Поэтому абсолютная погрешность .#

6.Оценка погрешности.

Во многих случаях точное значение величины неизвестно, и поэтому абсолютную погрешность приближения найти нельзя. Тем не менее удается дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.

Задача 5.В комнатном термометре верхний конец столбика жидкости находится между отметками . В качестве приближенного значения температуры взято число . Оценить абсолютную погрешность приближения.

# Точное значение температуры t неизвестно, однако можно утверждать, что . Вычитая из каждой части этого двойного неравенства приближенное значение , получим: , т.е. . Таким образом, абсолютная погрешность не больше #.

В этом случае говорят, что температура измерена с точностью до , и записывают это так: .

Вообще, если – приближенное значение числа и ( ), то говорят, что число равно числу с точностью до и пишут:

7.Сложение и вычитание приближенных величин.

Если и , то .

Если и , то .

То есть и при сложении и при вычитании погрешность оценивается числом .

Задача 6.Стороны прямоугольника равны 3 и 5 см с точностью до 0,1 см. Найти периметр этого прямоугольника.

# .По условию задачи , . Следовательно ; см.#

В практических задачах при сложении и вычитании приближенных значений обычно сначала округляют данные числа, сохраняя столько десятичных знаков, сколько их имеет наименее точное данное.

Задача 7.Найти приближенно сумму , если .

#Округляя данные числа до десятых, находим .#

В условии задачи из приближенных неравенств , , наименее точным является приближенное значение числа .Поэтому все остальные приближенные значения округлялись до десятых.