Характерные скорости распределения Максвелла

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна (рис. 2), называется наиболее вероятной скоростью υ_в. Значение этой скорости можно найти, продифференцировав выражение (5) по аргументу υ и приравняв результат к нулю:

(6)

Значения υ = 0 и υ =  соответствуют минимумам функции (5), а значение υ, при котором

соответствует ее максимуму и является наиболее вероятной скоростью υ_в:

(7)

где М – молярная масса газа. Значение функции F(υ) в точке максимума можно найти, подставив выражение (7) в (5). После преобразований получим:

(8)

Рис.2. Графический смысл площади фигуры под графиком распределения и характерные скорости распределения Максвелла.

Характер распределения молекул газа по скоростям зависит как от температуры, так и от массы его молекул. Из формулы (7) следует, что при повышении температуры или уменьшении массы молекул максимум функции распределения молекул по скоростям сместится вправо (рис. 3). Площадь, ограниченная кривой, останется неизменной, поэтому при повышении температуры или уменьшении массы молекул кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться в соответствии с (8).

Рис. 3. Влияние температуры и массы молекул на вид

распределения Максвелла

Таблица 1.

Распределение молекул кислорода

по интервалам скоростей при температуре 273 К

Интервал скоростей, м/с	Доля молекул, %
менее 100	1,4
100 – 200	8,1
200 – 300	16,7
300 – 400	21,5
400 – 500	20,3
500 – 600	15,1
600 – 700	9,2
более 700	7,7

В табл. 1. приведены данные по распределению молекул кислорода по интервалам скоростей при температуре 273 К. Наиболее вероятная скорость, рассчитанная в соответствии с (7) будет равна 377 м/с. Из данных табл.1 видно, что наибольшее число молекул имеют скорость в том интервале, к которому относится наиболее вероятная скорость. Этот результат можно объяснить. Правая часть кривой распределения более полога, чем левая (рис. 2). Следовательно, площадь между полого спадающей правой частью распределения Максвелла и осью абсцисс больше, чем площадь между крутой левой частью кривой и осью абсцисс. Так как эти площади пропорциональны числу молекул, обладающих скоростями, соответственно больше и меньше наиболее вероятной скорости, то это означает, что в газе число быстрых молекул со скоростями, большими υ_в, превышает число медленных молекул со скоростями, меньшими υ_в.

Средняя скорость молекул υ (или средняя арифметическая скорость) определяется по формуле:

(9)