Захаров В.С.

ЕГЭ часть С. Вводный курс по алгебре.

Екатеринбург

Введение

Данное методическое пособие состоит из 7 уроков и содержит более 250 задач.

У данной книги есть преимущества по сравнению с обычным репетитором. Важным моментом является то, что решения всех задач пособия есть в видео формате. С ними Вы можете ознакомиться на сайте . Кроме того, данная книга всегда у Вас под рукой и вы можете заниматься в любое удобное время. Это приводит к тому, что Вам не надо осваивать материал за жестко отведенный промежуток времени и вы можете вернуться к необходимому материалу неоднократно.

Как работать с пособием? Все очень просто. Все уроки устроены одинаково. Сначала идет теоретическая справка, состоящая из напоминания основных фактов, теорем и формул, а также алгоритмов решения задач. Прежде всего, Вы должны хорошо освоить эту часть урока.

Когда Вы заучите вводную часть, переходите к практической части. Попытайтесь решать задачи самостоятельно и только если Вы попробовали все способы и все равно не смогли ее решить, посмотрите урок с моим решением. Постарайтесь понять весь ход решения и воспроизвести его самостоятельно. Старайтесь оформлять задачи также как и я.

В конце урока дается домашнее задание. Не переходите к следующему уроку пока не решите домашнее задание и не получите за него положительную оценку.

Как выставлять себе оценку? Если задача решена абсолютно верно, что означает верный ответ, верный рисунок и все выкладки, то ставьте себе отметку +. Если есть незначительная ошибка, т.е.

-арифметическая ошибка, повлиявшая на менее, чем треть ответа, или

-пропущено доказательство одного из свойств в геометрической задаче при верном ответе, или

-пропущено рассмотрение случая, который мог повлиять на ответ, но не повлиял,

то поставьте себе оценку (плюс-минус).

Если ход решения правильный, но из за ошибок по невнимательности получено менее , но не менее половины правильного ответа, или

- если найдена основная идея, упрощающая геометрическую задачу, или

-не доказано главное свойство, упрощающее задачу, но с его использованием получен правильный ответ,

То поставьте оценку

Оценка за урок и за домашнее задание выставляется стандартным образом. Это означает, что

-если у Вас 90% чистых плюсов ( в число которых можно включить два плюс –минуса), Вы ставите себе 5.

-если у Вас 75% чистых плюсов ( в число которых можно включить два плюс-минуса), то оценка 4.

-если у Вас 50% чистых плюсов, то оценка 3.

-все остальное 2.

Занятие 1. Рациональные неравенства

Теоретическая справка

Блок 1. Метод интервалов

Неравенство называется рациональным, если левая и правая его части являются суммами отношений многочленов. Одним из самых мощных методов решения неравенств. Для этого неравенство приводится к виду

,

где – кратность корня

При этом важно, чтобы разность имела вид ), а не . Затем рисуется числовая ось. И расставляются знаки + - справа на лево. Причем если кратность корня четная смена знака не происходит.

Задача 1. Решить неравенство .

Задача 2. Решить неравенства

2.1 2.2 .

Задача 3. Решить неравенства

3.1 3.2

3.3 3.4 .

Задача 4. Решить неравенства

4.1 4.2

Задача 5. Решить неравенства

5.1 5.2

5.3 5.4 .

Задача 6. Решить неравенство .

Задача 7. Решить неравенство .

Домашнее задание

Задача 1. Решить неравенства

1.1 1.2

1.3 1.4

Задача 2. Решить неравенства

2.1 2.2

2.3 2.4

Задача 3. Решить неравенства

3.1 3.2

3.3 3.4

Задача 4. Решить неравенства

4.1 4.2

4.3 4.4 .

Задача 5. Решить неравенства

5.1 5.2

5.3 5.4

Занятие 2. Уравнения и неравенства с модулем

Теоретическая справка

Блок 2. Модуль величины и его свойства

Определение.

Примеры.

1. |5|=5.

2. |-10|=10.

3. |π-3|=π-3.

Свойства модуля величины

1. |а|≥0.

2. |-а|=|а|.

3. |а|=0 <=> а=0.

4. 

5. .

6. .

7. 

hhhh

Блок 3. Самые простые схемы

Примеры.

1. |3x+5|≥4

 

Ответ.

↘

Блок 4. Неравенства вида

⬄

⬄

2.

Ответ.

dt

Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения

1.4 .

Задача 2. Используя блок 3, решить неравенства

2.1 2.2 2.3

Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства

3.1 3.2 .

Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства

4.1 4.2

4.3 4.4 .

Задача 5. Решить неравенство

Домашнее задание

Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения

1. 

Задача 2. Используя блок 3. Решить неравенства

2.1 2.2 2.3

Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства

3.1 3.2 3.3

Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства

4.2

4.4

4.6

.

Задача 5. Решить двойное неравенство

Занятие 3. Уравнения и неравенства с модулем

Блок 5. Уравнение вида

Существует два подхода при решении данного уравнения.

Способ 1. Если f(x) проще, чем g(x), то применяется следующая схема:

Способ 2. Если g(x) проще, чем f(x), тогда применяется следующая схема:

Теоретическая справка

Блок 6. Метод интервалов при решении уравнений и неравенств с модулем

1. На числовой прямой отметьте нули всех подмодульных выражений.

2. Определить знак каждого из этих выражений на каждом из промежутков.

3. Раскрыть модули на каждом из промежутков и решить полученное уравнение ( неравенство).

4. Из полученных решений выбрать только те, которые этому промежутку принадлежат.

5. Объединить ответы из всех промежутков.

Блок 7. Неравенства вида

Под знаком ∨ мы будем понимать любой из знаков Домножим обе части неравенства на положительное выражение

, тогда

⬄ ⬄

.

Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения

1. 

Задача 2. Используя блок 6, решить уравнения

2.1 2.2

2.3 2.4

Задача 3. Используя блок 6, решить уравнения

3.1 3.2

3.3 | |-| |=5 3.4 .

Задача 4. Используя блок 6, решить неравенства

4.1 4.2

4.3 .

Домашнее задание

Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения

1. 

Используя блок 6, решить уравнения

Используя блок 6, решить уравнения

3.4

Используя блок 6, решить неравенства

4.1 4.2

4.3 4.4

4.5

Задача 5. Используя блок 7, решить неравенства

5.1 5.2

5.3 .

Задача 6. Решить неравенство

Занятие 4. Иррациональные уравнения и неравенства

Теоретическая справка

Блок 8. Уравнения вида

Пример. Решить уравнение

Решение.

– посторонний корень.

Ответ.

Блок 10. Неравенства вида

↘

Блок 9. Уравнение вида

Решаем ту эквивалентную систему, которая ПРОЩЕ!

Пример. Решить уравнение

Решение.

Ответ .

↘ Пример. Решить неравенство

Решение.

Ответ. .

Блок 11. Неравенства вида

Пример. Решить неравенство .

Решение.

Ответ.

Задача 1. Используя блок 8, решить уравнения

1. 

2. 

3. 

4. 

Задача 2. Используя блок 9, решить уравнения

2.1

2.2

Задача 3. Используя блок 10, решить неравенства

3.1

3.2

3.3

Задача 4. Используя блок 11, решить неравенства

4.1

4.2

4.3

4.4

Домашнее задание

Задача 1. Используя блок 8, решить уравнения

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Задача 2. Используя блок 9, решить уравнения

2.1

2.2

2.3

Задача 3. Используя блок 10, решить неравенства

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5 .

Задача 4. Используя блок 11, решить неравенства

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Занятие 5. Иррациональные уравнения и неравенства

Блок 12. Неравенства вида

Общее правило. Знак разности совпадает со знаком разности на ОДЗ:

Пример. Решить неравенство .

Решение.

Ответ.

Теоретическая справка

Блок 13. Метод расщепления

Аналогичные схемы можно привести и для нестрогих неравенств.

Блок 14. Две основных теоремы

Определение. Два уравнения называются равносильными на множестве если совпадают множества их корней, принадлежащие

Определение. Если множество корней уравнения содержит множество корней уравнения , то уравнение называется следствием уравнения .

Теорема1. Уравнение , , является следствием уравнения

Теорема 2. Пусть для любого Тогда уравнения , равносильны на множестве

Задача 1. Используя блок 12, решить неравенства

1. 

2. 

3. 

Используя блок 13, решить уравнения

Используя блок 13, решить неравенства

3.1

3.2

3.3

3.4

Задача 4. Используя блок 13, решить неравенства

4.1

4.2 .

Задача 5. Используя блок 14, решить неравенства

5.1

5.2

5.3 .