3.2 Определение индексов отражающих плоскостей (индицирование) и типа элементарной ячейки кристаллов кубической сингонии

Индицирование - определение индексов дифракционных максимумов (символов интерференции), т. е. троек целых чисел (HKL), пропорциональных индексам (hkl) семейства отражающих плоскостей: H = n h, K = n k, L = n l, где n - порядок отражения.

Чем ниже симметрия кристалла, тем сложнее задача индицирования, так как возрастает число независимых параметров. Рассмотрим два способа индицирования рентгенограммы кристаллов кубической сингонии - графический и аналитический.

В графическом методе используется квадратичная форма для кубической решетки (см. табл.3):

a² = d²(h² + k² + l²) или  , (29)

которую можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через начало координат:

y = k x,

где y = a , x = d ,  .

 

Таблица 3

Квадратичные формы некоторых сингоний

Сингонии	Межплосостные расстояния dHKL	Объем ячейки V
Кубическая		a^3
Тетрагональная		a^2c
Ромбическая		abc
Гексагональная

 

Каждой совокупности плоскостей с индексом (hkl) будет соответствовать прямая с тангенсом угла наклона, равным  (рис. 24). Будем откладывать на оси значения межплоскостных расстояний d , а по оси координат - значение параметра a (график строится на миллиметровой бумаге). Для построения прямой, проходящей через начало координат, достаточно найти хотя бы еще одну точку. Построим прямую, соответствующую совокупности плоскостей с индексами (100). Зададим произвольно значение d. Например, d = 1, тогда:

Рис. 24. График для индицирования рентгенограмм

кристаллов кубической сингонии по известным значениям d

 

Отмечаем на графике точку с координатами (1; 1) и проводим через нее и начало координат прямую. Следующие (в порядке возрастания) значения индексов будут: (110), (111), (200), (210), (211), (220), (221), (300), (310) и т. д. Аналогично предыдущей строим прямые, соответствующие этим значениям индексов (можно ограничиться значением индексов (511) ).

 

По такому графику можно проиндицировать рентгенограмму любого вещества, относящегося к кубической сингонии. Исследуемое в данной работе вещество имеет определенное значение параметра а и набор отражающих плоскостей с определенными значениями d_hkl. Из миллиметровой бумаги вырезают полоску, отмечают на ней начало отсчета и откладывают в том же масштабе, как и на графике, все найденные по рентгенограмме значения d_hkl для всех линий данной фазы. Затем прикладывают полоску к графику параллельно оси абсцисс так, чтобы ее нулевая точка совпала с началом координат, и перемещают полоску в вертикальном направлении параллельно оси абсцисс. В тот момент, когда полоска достигнет уровня, который соответствует значению параметра исследуемого вещества, все нанесенные на нее точки должны одновременно совпасть с некоторыми из прямых, построенных на графике. Это совпадение объясняется тем, что связь междуd и hkl для любого семейства плоскостей исследуемого вещества выражается той же формулой, с использованием которой мы построили прямые на графике. Таким образом, набор индексов прямых, с которыми совпадают экспериментальные значения d_hkl , и является набором индексов отражающих плоскостей исследуемого вещества.

Для аналитического индицирования подставляют значения из уравнения Вульфа - Брэггов в квадратичную форму:

(30)

Выше было показано, что для кристаллов кубической сингонии с объемно-центрированной ячейкой, максимумы получаются от семейства плоскостей, у которых сумма индексов четная: (110), (200), (211), (220), (310), (222)... Если записать последнее уравнение для каждой из этих систем и найти отношение левых и правых частей, то получим:

(31)

т. е. квадраты синусов отражающих плоскостей должны относиться как последовательные четные числа натурального ряда.

Для гранецентрированной кубической решетки максимумы получаются от семейств плоскостей с индексами одинаковой четности, т. е. (111), (200), (220), (311), (222)... Отношение квадратов синусов углов скольжения для этих плоскостей:

, (32)

Таким образом, найдя отношение sin²θ для последовательно расположенных линий рентгенограммы и сравнив их с последовательностями полученных выше чисел, можно, во-первых, проиндицировать рентгенограмму, и, во-вторых, определить тип элементарной ячейки кристаллов кубической сингонии.