Свободные механические колебания

Механическая система, в которой одно или несколько тел совершают колебательные движения, называется колебательной системой. Колеба­ния, происходящие за счет внутренних сил системы, называются свобод­ными колебаниями. При свободных колебаниях в системе всегда дейст­вуют силы, стремящиеся возвратить систему в положении равновесия.

Колебательную систему, в которой небольшое тело (материальная точка) колеблется только под действием силы упругости, называют пружинным маятником.

На рисунке показан пружинный маятник - тело, подвешенное на пружине, второй конец которой жестко закреплен. На рис. а тело показано в по­ложении равновесия ОО1, при оно неподвижно, так как сила тяжести уравновешена силой упругос­ти пружины.

Циклическая частота и период свободных ко­лебаний пру­жинного маят­ника:

,

де k - жесткость пру­жи­ны; m - масса тела.

Fx=-kx	проекция Fx силы упругости, под действием которой происходят колебания пружинного ма­ятника; k - коэффициент жесткости пружины (см. п. 1.16); x - смещение тела из положения равновесия (рис.б).
m =-kx	уравнение движения пру­жинного маятника вдоль оси Ох, полученное подстановкой в урав­нение второго закона Ньютона ma=F ускоре­ния a= и силы F=-kx (силы упругости).
^2x=0	дифференциальное уравнение гармонических колебаний (получено из уравне­ния движения пру­жинного маятника, в котором ^2=k/m). Ре­шением дифференциального уравнения колеба­ний является функ­ция вида х(t)=Асos(wt+j0), где А - амплитуда колебаний, j0 – начальная фаза.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешен­ная на невесомой и нерастяжимой нити, совершаюшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

	При малых колебаниях период T не зависит от амплитуды: , де l - длина нитки; g - ускорение свободного падения.
х=Асos(wt+j0)	уравнение свободных гармонических колебаний, которое является решением дифференциального уравне­ния колебаний; х – смещение колеблю­щейся точки от ее среднего положения; А - амплитуда колебаний; wt+j0 - фаза колебаний; w - циклическая частота; t – время; j0 – начальная фаза (фаза в момент времени t=0).
	Величина, обратная периоду колебаний, т. е. число полных колебаний, совершаемых в едини­цу вркмени, называется частотой колеба­ний. Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц =1 с^–1.
w=2n	связь между циклической частотой w и частотой колебаний n. Циклическая частота определяет число колебаний, совершаемых за 2p се­кунд. Она измеряется в секундах в минус первой степени (с^–1).
	циклическая частота w и период Т собственных колебаний пружинного маятника; k - коеффи­циент жесткости пружины; m - масса колеблю­щегося тела.
	циклическая частота w и период Т собственных колебаний математического маятника; l - длина нити; g - ускорение свободного падения.

vm=Аw	максимальная скорость колебаний (амплитуда скорости).
ах= = =-Аw^2сos(wt+j0) =Аw^2сos(wt+j0+)	проекция на ось х ускорения a гармонического колеба­ния, если х=Асos(wt+j0). Фаза величи­ны ускорения ax отличается от фазы величины смещения x на .
аm=Aw^2	максимальное ускорение колебаний.
	На рисунке показаны графики смещения х (координаты тела), скорости v и ускорения а при гармонических колебаниях, происходящих вдоль оси х по закону х=Асoswt; скорость vx=-Аwsinwt, ускорение а=-Аw^2сoswt.