Метод векторных диаграмм

Графически ко­лебание можно представить в виде вращающегося век­тора амплитуды. Для этого из точки О на оси х (см. рисунок), под углом j₀, равным начальной фазе ко­лебания, откладывают вектор A, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого ко­лебания.

Вектор амплитуды A, вращающийся про­тив часовой стрелки с постоянной угловой ско­ростью , равной циклической частоте ко­лебания, изображает гармоническое ко­лебание: проекция вектора A0 в момент t=0 на опорную линию равна начальному смеще­нию x0=Acos0; проекция вектора A в произвольный момент t>0 x=Acos(t+0).

Графическое представление гармонических колебаний в виде вращаю­щихся векторов называется методом векторных диаграмм. Этот метод широко использутся при изучении сложных колебаний.

Сложение гармонических колебаний одного направления

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирую­щих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предель­ных случая – сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Первый случай реализуется при наложении колебаний скалярных физических характеристик колебательной системы (давления, плотности, электрического заряда тока и т. п.).

На рисунке показана сложная колебатель­ная система. Грузик 1 колеблется относитель­но грузика 2 на пружине жесткостью k1 и вме­сте с грузиком 2 на пружине жесткостью k2. Колебания происходят в одном направлении. Уравнение первого колебания (грузика 1) x1=А1cos(t+), уравнение второго колеба­ния (грузика 2) x2=А2cos(t+).

В соответ­ст­вии с методом векторных диаграмм сложение одинаково направленых колебаний одинаковой частоты  сводится к геометрической задаче сложения двух векторов A₁ и A₂, проведеных из одной точки О и вращающихся вокруг нее с одинаковой угловой ско­ростью . Вектор амп­литуды A результирующего колебания равен сумме векторов: A=A₁+A₂, причем вектор A вращается вокруг точки O с той же угловой ско­ростью . Результирующее колебание является гармо­ническим с циклической частотой , равной частоте складываемых ко­лебаний; его уравнение

x=Acos(t+),

где  амплитуда результирующего колебания;   его начальная фаза.

	На рисунке показано сложение двух одно­направленных колебаний методом векторных диаграмм, первое колебание представлено век­тором A1, второе - вектором A2, векторы вра­щаются с одинаковой угловой скоростью, поэ­тому угол между векторами, равный -, не изменяется с течением времени.
A= =	амплитуда и начальная фаза результирующего колебания, получающегося при сложении двух коле­баний x1=А1cos(t+) и x2=А2cos(t+), направленных вдоль оси Ох.

Биение

При сложении двух коле­баний с одинаковыми амплитудами и близкими частотами _»_ их уравнения можно записать в виде x₁=Аcost; x₂=Аcos()t, где =__, _-_. В этом случае результирующее колебание (биение) описывается таким уравнением

х= x₁+x₂»2Аcos cost.

На рисунке показан график биений - слож­ного колебания, полученого при сложении двух колебаний с близкими частотами; ампли­туда биений периодически изменяется с часто­той, равной разности частот складываемых колебаний.