Энергия гармонических колебаний

Wп= = = сos^2wt= = сos^2wt	квазиупругая сила обуславливает наличие у колеблющегося тела потенциальной энергии; k - коэффициент квази­упругой силы (k=m^2); m - масса тела;  - циклическая частота; А - ампли­туда, t - время.
Wп= = = sin^2wt	кинетичес­кая энергия тела, совершающего гармо­ническое колебание по закону х=Асoswt, при этом закон изменения скорости vx=-Аwsinwt; vмакс=Аw - максимальная скорость колебания.
Wк+Wп= =const	Сложив выражения для кинетической и потен­циальной энергий, получим, что сумма кинети­ческой и потенциальной энергий гармонического колебания не изменяется со временем.

Затухающие механические колебания

Во всякой реальной механической колебательной системе всегда имеется сила трения, действие которой приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполнять, колебания будут затухать.

	Примером затухающих колебаний является колебание тела на пружине под действием силы упругости Fупр (см. п. 4.2) и силы сопро­тив­ления Fс (см. рис.). При неболь­ших ско­ростях движе­ния Fс=rv, где r - коэффициент сопротив­ле­ния.
-	уравнение движения для груза на пружине с учетом силы сопро­тив­ления; m  масса груза; vx и ax  проекции на ось Ох скорости и ускорения; -kx и -rvx - проекции упругой силы и силы сопротивления.
-^-	дифференциальное уравнение движения груза на пружине, где =ax, =vx.
-	дифференциальное уравнение затухающих коле­баний, где =r/2m - коэффициент затухания; , где 0  циклическая частота свободных незатухающих колебаний груза на пружине.
х=А0е^-^tcos(t)	уравнение затухающих коле­баний; х  смещение колеблющегося тела от среднего положения;   частота затухающих колебаний; А0,  - начальные амплитуда и фаза (определяются из начальных условий).
= -	связь коэффициента затухания  с коэффици­ен­том сопротивления r и массой колеблющегося тела m.
= 	частота затухающих колебаний;   частота незатухающих колебаний, .
A=А0е^-^t= А0е^-^(^t^^^ 	условная амплитуда затухающих колебаний.
-	время релаксации  (время, за которое ампли­туда затухающих колебаний уменьшается в е раз (е»2,7)); Т - условный период колебаний; N  число колебаний, осуществляемых за время .
	На рисунке показан график затухающих коле­баний. Пунктирными линиями изображены гра­ницы, в пределах которых находится смещение колеблющейся точки х. Верхняя пунктирная кривая соответствует изменению условной амп­литуды со временем по уравнению A=А0е^-^t.
= 	декрементом затухающих колебаний называется безразмерная величина, равная отношению двух следующих одна за одной (через период) амплитуд А(t) и А(t+T).
	логарифмическим декрементом затухающих ко­лебаний называется безразмерная величина, равная натуральному логарифму от декремента; =1/ время релаксации; Т - условный период колебаний, N  число колебаний за время .
	- добротность колебательной системы по опре­делению равна отно­шению енергии W(t) в мо­мент t к потере енергии системой за один пе­ри­од (W(t)-W(t+T)), умноженому на 2.
	связь добротности колебательной системы с ло­гарифмическим декрементом затухания  собс­твенной частотой колебаний  и коэффициен­том затухания .