Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний оди­наковой частоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направ­лениях по осям х и у. Для упрощения начало отсчета времени выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания равнялась нулю, и запишем

x=А₁cost; у=А₂cos(t+),

где  - разность фаз колебаний; А₁ и А₂ - амплитуды складываемых колебаний. Результатом сложения колебаний будет непрерывное движение колеблющейся точки по эллиптической траектории (или по окружности при А₁=А₂). Период вращения равен периоду складываемых колебаний. Результирующее колебание называется эллиптически поляризованным.

Уравнение траектории результирующего колебания находится исклю­чением из обеих уравнений колебаний параметра t.

	В общем случае сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний оси эллипса ори­ентированы относительно координатных осей произвольно, а его уравнение имеет вид
	При разности фаз =0 точка движется по отрезку прямой y=(А2/А1)x, расположенному в первой и третьей четвертях координатной плоскости. Это отрезок можно считать эллип­сом, у которого одна полуось равна нулю (так называемый вырожденый эллипс).
	При разности фаз =±p точка движется по отрезку прямой y=-(А2/А1)x, лежащей во второй и четвертой четвертях координатной плоскости.
-	При разности фаз =±p/2 точка движется по эллипсу, причем при =p/2 - по часовой стрелке, а при =-p/2 - против часовой стрелки.

Фигуры Лиссажу.

Замкнутые траектории точки М, которая одновременно осуществляет гармоничные колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу. Если отношение частот складываемых колебаний равно рациональному числу, то фигуры Лиссажу не изменя­ют­ся; форма их зависит от отношения частот и разности начальных фаз. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого сов­падает с началом координат, а стороны параллельны осям ОХ и ОY и рас­положены с обеих сторон от них на расстояниях, равных соответственно амплитуды складываемых колебаний А₁ и А₂.

Вынужденные механические колебания

Движение, возникающее под действием периодической внешней силы, называется вынужденным колебанием. Периодическую внешнюю силу записывают в виде F_вн=F₀cost, где F₀ и  - ее амплитуда и циклическая частота.

	Примером вынужденных колебаний явля­ю­тся колебания груза на пружине; на груз в направлении движения действуют три силы: упругости Fу=-kx, сопротивления Fсс=rv и внеш­няя периодическая сила Fвн=F0cost. Периоди­ческую силу можно получить с по­мощью уста­новки, показанной на рисунке. Она состоит из подвешен­но­го к пружине груза 1, соединенного с магнит­ным сердеч­ником 2 и пластинкой 3, погружен­ной в со­суд с жидкостью. Сердечник помещен в кату­шку, на которую подается переменное напря­жение U=U0cost, сердечник периодически втягивается и выталкивается из катушки, в результате на груз действует периодическая (внешняя) сила.
	- основной закон динамики (уравнение дви­же­ния груза на пружине, см. рис., соверша­ющего вынужденные колебания); m  масса груза; vx и ax  проекции на ось Ох скорости и ускорения; -kx и -rvx - проекции упругой силы и силы сопротивления; F0cost - внеш­няя сила, изменяющаяся по закону косинуса.
-	выражения для амплитуды А и начальной фазы  вынужденных колебаний; видно, что величины А и  зависят не только от ампли­туды внешней силы, но и от соотношения между частотой вынуждающей силы  и собственной частотой 0, а также от коэффи­циента затухания (=r/2m).
	На рисунке показаны амплитудные характеристики вынужденных колебаний; видно, что значение амплитуды А зависит от частоты  вынуждающей силы. При =0 , то есть если внешняя сила постоянная, колебания не происходят, и смещение равно статической деформации под действием силы F0 (A0 называют статической амплитудой).

При =0 и при ®₀ (<₀) имеем A®¥, то есть при отсутствии затуха­ния ампли­туда колебаний возрастает с увеличением частоты вынуж­даю­щей силы и ее при­бли­же­нием к собственной частоте ₀ ( ). При =₀ ампли­туда становится беско­нечно большой, что означает разру­шение си­стемы.

При ¹0 и при возрастании частоты от нуля до ₀ максимум коле­баний достигается при частоте , несколько мень­шей _0. При дальнейшим увеличении частоты амплитуда вынужденных колебаний уменьшается, причем

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колеба­ний системы, называется механическим резонансом. Частоту, при которой амплитуда смещения достигает максимума, называют резонансной часто­той.

рез= -	резонансная частота.
Aрез= -	амплитуда при резонансе.