3. Точки разрыва и их классификация

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x₀, то точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x).

Согласно определению функции, непрерывной в точке x₀, в точке разрыва функция либо не определена, либо не имеет в этой точке конечного предела, либо конечный предел функции в точке x₀ существует, но не совпадает со значением f(x₀) функции f(x) в этой точке.

Точка разрыва x₀ функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если f(x) имеет в этой точке конечные односторонние пределы и . При этом если в точке разрыва x₀ = , то разрыв называется устранимым, если же  , то разрыв называется неустранимым. Разность – называется скачком функции f(x) в точке x₀.

Все точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода называются точками разрыва второго рода. В точке разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов не существует или является бесконечным.

20

Разрывы I рода

Разрыв неустранимый Разрыв устранимый Разрыв II рода

Если функция f(x) имеет в некоторой точке x₀ устранимый разрыв, то его можно устранить, переопределив или доопределив функцию в точке x₀. Например, функция не определена в точке x = 0, но имеет в этой точке конечные односторонние пределы = = 1, так как . Значит эта функция имеет в точке x = 0 устранимый разрыв. Доопределив эту функцию в точке x = 0 значением 1, то есть, задав значение f(0) = 1, получим непрерывную в точке x = 0 функцию.

4. Односторонняя непрерывность

Введем понятие односторонней непрерывности.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ справа (слева), если выполнены условия:

1. f(x) определена в точке x₀,

2. существует конечный предел ,

3. = f(x₀) .

Непрерывность справа Непрерывность слева

21

ТЕОРЕМА. Для того чтобы функция f(x) была непрерывной в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы она была в этой точке непрерывной справа и слева.

Доказательство проведите самостоятельно.

5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого множества D, то она называется непрерывной на этом множестве. Особенно важными являются свойства функций, непрерывных на отрезке. Функция является непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

ТЕОРЕМА Вейерштрасса.

Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена на нем и достигает в некоторых точках этого отрезка своего наибольшего и своего наименьшего значений.

Вместо доказательства дадим геометрическую интерпретацию теоремы.

Рис. 1 Рис. 2.

На рис. 1. функция непрерывна на [a, b], ограничена на этом отрезке числами m и M, достигает наибольшего значения M в точке x₀, наименьшего значения m в точке a.

На рис. 2. изображена функция, непрерывная на промежутке [a, b). В точке b непрерывности нет, поскольку . Функция не ограничена сверху, не имеет наибольшего значения. Как видим, условие непрерывности функции на всем отрезке, включая концы, является существенным.

ТЕОРЕМА Больцано-Коши.

Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка значения A и B (A  B), тогда для любого числа C, находящегося между A и B, найдется такое число c, принадлежащее интервалу (a, b), что f (c) = C.

Вместо доказательства дадим геометрическую интерпретацию теоремы.

22

Рис. 3 Рис. 4.

На рис. 3. функция непрерывна на [a, b] и принимает значение C в точке c.

На рис. 4. функция определена на отрезке [a, b] и непрерывна во всех точках этого промежутка, кроме точки x₀. Поэтому число C, находящееся между A и B, не является значением данной функции ни в одной точке интервала (a, b).

23