Вказівки щодо розв'язування задач

1. При оформленні розв'язаної задачі вказувати основні закони та формули, на яких базується розв'язок та давати письмове обґрунтування цих законів. Потрібно пояснювати буквені позначення у формулах. Якщо при розв'язку задачі використовуєть-ся формула, яка отримана для окремого випадку, що не виражає будь-який нефізичний закон або не є визначенням будь-якої фізичної величини, то її необхідно отримати.

2. Дати рисунок, який пояснює зміст задачі (у тих випадках, коли це можливо). Виконати його треба ретельно (за допомогою олівця, лінійки, циркуля).

3. Супроводжувати розв'язок задач короткими, але вичерпними поясненнями.

4. Всі початкові значення величин в умові задачі потрібно перевести у одиниці системи СІ. Наприклад, потрібно переводити км/год - у м/с, градуси - у радіани, градуси ⁰С - у градуси Кельвіна (К).

5. Отримати розв'язок задачі у загальному вигляді, тобто виразити величину, яку потрібно знайти, у буквених позначеннях величин, що задані в умові задачі. При такому способі розв'язку не проводяться обчислення проміжних величин.

6. Підставити у праву частину отриманої робочої формули замість символів величин позначення одиниць вимірювань, провести з ними відповідні дії і переконатись у тому, що результат відповідає тій, яку знаходимо.

7. Підставляти у робочу формулу числові значення величин потрібно, тільки якщо вони виражені у системі СІ. Недотримання цього правила приводить до невірного результату.

8. При підстановці у робочу формулу, а також при запису відповіді, числові значення величин потрібно записувати у вигляді добутку десяткового дробу з однією значущою цифрою перед комою на відповідну ступінь десяти. Наприклад, радіус Землі 6400 км потрібно записати у вигляді 6,410⁶ м, а замість 0,00123 потрібно записати 1,2310^-3 і таке інше.

9. Оцінити, де це можливо, правдоподібність чисельної відповіді. У ряді випадків така оцінка допоможе знайти хибність отриманого результату. Наприклад, коефіцієнт корисної дії теплової машини не може бути більшим за одиницю, електричний заряд не може бути меншим за елементарний заряд, швидкість тіла не може бути більшою за швидкість світла у вакуумі і таке інше.

Вимоги до оформлення контрольних робіт

1. Семестрові контрольні роботи виконуються чорними або синіми чорнилами чи кульковою ручкою в звичайному шкільному зошиті, на обкладинці якого наводяться відомості студента про себе. Умови задач у контрольній роботі переписуються повністю, без скорочень. Для зауважень та приміток викладача на сторінках зошита потрібно залишаюти поля.

2. У кінці контрольної роботи вказується, яким підручником чи посібником студент користувався при вивченні фізики та розв'язку задач. Це робиться для того, щоб викладач у випадку необхідності міг вказати, що потрібно студенту вивчити (з цих матеріалів) для закінчення контрольної роботи. У контрольній роботі студент повинен розв'язати задачі того варіанту, номер якого збігається із його шифром. Контрольна робота виконана не за своїм варіантом не перевіряється.

3. Якщо контрольна робота при рецензуванні не зарахована, то студент повинен подати її на повторну рецензію, у яку потрібно включити ті задачі, розв'язок яких був невірним. Повторна робота подається разом із незарахованою. Зарахована контрольна робота подається викладачу на іспит або залік. Студент повинен уміти дати пояснення по суті розв'язку задач, які входять у контрольну роботу.

ОСНОВИ ТЕОРІЇ З РОЗДІЛУ “КОЛИВАЛЬНІ ПРОЦЕСИ”

Коливальними (коливаннями) називаються рухи або процеси, які володіють певною повторюваністю у часі. Коливальні рухи можуть мати різну фізичну природу (механічні, електромагнітні, електромеханічні та інші), проте всі вони описуються однаковими параметрами і рівняннями, тому до їхнього вивчення можна застосувати однаковий підхід. Якщо інтервал часу, через який коливне тіло повертається у початкове положення, однаковий, такі коливання називаються періодичними, а час одного коливання називають періодом коливання Т. Умовою виникнення коливальних рухів є наявність у коливальній системі сил, які повертають її в положення рівноваги при невеликому зміщенні системи із цього положення. Коливання називаються вільними, якщо вони відбуваються тільки за рахунок енергії, наданої коливальній системі у початковий момент часу при подальшій відсутності зовнішніх дій на неї. Коливання, які відбуваються при періодичній зовнішній дії на коливальну систему, називають вимушеними.

Як приклад коливальної системи, розглянемо пружинний маятник - вантаж масою m, підвішений на абсолютно пружній пружині і здійснюючий малі (гармонічні) коливання під дією її сили пружності F=-kx, де k – жорсткість пружини, х – зміщення вантажу від положення рівноваги. Рівняння руху такого тіла (другий

закон Ньютона) F=mа в даному випадку має вигляд: Це - однорідне диференціальне рівняння другого порядку, рішенням якого є гармонічна функція – синус або косинус: Тут х – зміщення точки, яка коливається, від положення рівноваги у момент часу t, А – максимальне зміщення (амплі-

туда коливання), ₀=2/Т=2 – циклічна частота коливань, Т – період коливання, а 1/Т= - кількість коливань в секунду – частота коливань. Величина, яка стоїть під знаком косинуса =(₀t₊₀) називається фазою коливання, що характеризує стан коливного тіла у будь-який момент часу t, ₀ – початкова фаза - характеризує стан коливного тіла у початковий момент часу (t=0). Важливість розгляду гармонічних коливань полягає у тому, що, по-перше, різні види коливань, які зустрічаються у природі і техніці, близькі до гармонічних, а по-друге, будь-які періодичні процеси можуть бути представлені накладанням гармонічних коливань.

Якщо зміщення коливної точки змінюється по гармонічному закону косинуса, то

закон зміни її швидкості має вигляд: А закон зміни прискорення а коливної точки має вигляд: де Vmax=A0– амплітудне зна

чення швидкості, а_max=A₀² – амплітудне значення прискорення. Очевидно, що фаза швидкості відрізняється від фази зміщення на /2, а фаза прискорення – на . Це означає, що в моменти часу, коли х=0, швидкість V точки набуває максимальних значень. Коли ж зміщення х досягає амплітудного негативного значення, при-скорення точки а набуває максимального позитивного значення. Підставивши значення зміщення х та прискорення а у рівняння руху точки, легко одержати ви-

раз для циклічної частоти коливань пружинного маятника 0^2=k/m. Період Т коливань такого маятника визначається співвідношенням:

Ще одним прикладом коливальної системи служить фізичний маятник – тверде тіло довільної форми, що здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, яка не проходить через його центр тяжіння (точка підвісу тіла не повинна співпадати із центром його мас). При невеликих відхиленнях такого тіла від положення рівноваги, його коливання будуть гармонічними із циклічною частотою ₀²=mgl/J, і періодом Т коливань:

де J – момент інерції маятника щодо осі, яка проходить через точку його підвісу, m – його маса, l – відстань між точкою підвісу і центром мас маятника.

Ідеалізована коливальна система, що складається із матеріальної точки масою m, підвішеної на нерозтяжній невагомій нитці завдовжки l, яка коливається під дією сили тяжіння, називається математичним маятником. Добрим наближенням такого маятника служить невелика важка кулька, підвішена на тонкій довгій нитці. Математичний маятник можна уявити, як окремий випадок фізичного маятника, якщо припустити, що вся його маса зосереджена в центрі мас. В цьому випадку момент інерції маятника (матеріальної точки m) щодо точки підві-

су J=ml^2. Тобто, період Т коливань такого математичного маятника буде ста-новити:

Розглянемо перетворення енергії при гармонічних коливаннях. Кінетична

енергія Т коливної матеріальної точки змінюється за законом: А потенціальна енергія П коливної то чки змінюється за законом: Отже, кожна із них змінюється за гармонічним законом із подвоєною часто-

тою, оскільки двічі за період і зміщення точки, і її швидкість досягають максимальних значень, які відповідають максимальним значенням потенціальної і кінетичної енергії відповідно. При цьому значення повної механічної енергії коливаль-

ної системи Е складає: Очевидно, що повна механічна енергія Е при гармонічних коливаннях системи не залежить від

часу, а отже, зберігається. Це означає, що оскільки сила пружності (або квазіпружна сила) є консервативною, у коливальній системі, яка здійснює гармонічні коливання, виконується закон збереження повної механічної енергії.

Гармонічні коливання можуть графічно зображуватись методом обертового вектора амплітуди, або методом векторних діаграм. Для цього із довільної точки О, вибраній на осі х, під кутом φ, рівним початковій фазі коливання, відкладається вектор А, модуль якого дорівнює амплітуді А розглядуваного коливання. Якщо цей вектор привести у обертання із кутовою швидкістю ω₀, рівною циклічній частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщуватись по осі х і набувати значення від –А до +А, а коливна величина цієї проекції буде змінюватись у часі по закону x=A∙cos(ω₀∙t+φ), що відповідає рівнянню гармонічного коливання. Таким чином, гармонічне коливання можна зобразити проекцією на деяку довільно вибрану вісь вектора амплітуди А, відкладеного із довільної точки цієї осі під кутом φ, рівним початковій фазі, і обертовий із кутовою швидкістю ω₀ навколо цієї точки.

Коливне тіло може брати участь у декількох коливальних процесах, тому потрібно визначити результуюче коливання. Іншими словами, коливання потрібно додавати. Складемо два гармонічних коливання одного напрямку і однакової ча-

стоти, рівняння яких мають вигляд: скориставшись методом обертового вектора амплітуди, про який було сказано вище. Оскільки вектори А1 та А2 обертаються із однаковою швидкістю ω0, то

різниця фаз (φ₂-φ₁) між ними залишається постійною. Очевидно, що результуюче коливання також буде гармонічним, рівняння якого має вигляд:

У цьому виразі амплітуда А та початкова фаза φ відповідно визначаються співвідношеннями: Таким чином, беручи участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку та однакової частоти, тіло також здійснює гармонічне коливання у тому ж напрямку і з тією ж самою частотою, що і коливання, які додаються. Ампліту-

да результуючого коливання залежить від різниці початкових фаз (φ₂-φ₁) коливань, які додаються. Проаналізуємо вираз для А в залежності від різниці фаз.

1. Якщо (φ₂-φ₁)=±2πm, (де m=0, 1, 2,…), то А=А₁+А₂, тобто амплітуда результуючого коливання А дорівнює сумі амплітуд коливань, які додаються.

2. Якщо (φ₂-φ₁)=±(2m+1)π, (де m=0, 1, 2,…), то А=|А₁-А₂|, тобто амплітуда результуючого коливання А дорівнює різниці амплітуд коливань, які додаються.

Для практики особливий інтерес має випадок, коли додаються два гармонічні коливання одного напрямку із частотами, які мало відрізняються. В результаті додавання таких коливань виникають коливання із амплітудою, яка періодично змінюється. Такі періодичні змінювання амплітуди коливання, які виникають при додаванні двох гармонічних коливань із близькими частотами, називають биттями. Якщо амплітуди коливань, які додаються однакові, а їхні частоти дорівнюють ω та (ω+Δω), причому Δω<<ω, а початкові фази обох коливань дорівню-

ють нулю, то рівняння таких коливань набувають вигляду: Додаючи ці рівняння і враховуючи, що у другому співмножнику Δω/2<<ω, визначимо: Таке результуюче коливання можна розглядати як гармонічне із частотою ω, амплітуда Аб якого також змінюється за таким гармонічним законом: Частота зміни амплітуди биттів Аб у два рази більша за частоту зміни косинуса (оскільки береться по

модулю), тобто частота биттів дорівнює різниці частот коливань,які додаються: ω_б=Δω. Період биттів Т_б=2π/Δω. Результуюче коливання здійснюється із частотою ω, але його амплітуда А_б повільно змінюється згідно цьому рівнянню із частотою Δω. Метод биттів використовується для настроювання музичних інструментів, аналізу слуху і таке інше.

Розглянемо результат додавання двох гармонічних коливань однакової частоти ω, які відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках вздовж осей х та у. Для простоти початок відліку виберемо так, щоб початкова фаза першого коливання дорівнювала нулю, тому рівняння цих коливань мають вигляд:

де φ – різниця фаз обох коливань, А і В – амплітуди коливань, які додаються. Рівняння траєкторії результуючого коливання одержимо, якщо виключимо із цієї системи

параметр t. Записавши рівняння коливань у вигляді x/A=cos(ω∙t), y/B=cos(ω∙t+φ)= cos(ω∙t)∙cos(φ)-sin(ω∙t)∙sin(φ), і замінивши у другому рівнянні cos(ω∙t) на x/A, а sin(ω∙t) на , після нескладних перетворень одержимо рівняння еліпса, осі якого довільно орієнтовані щодо координатних осей:

Такі взаємно перпендикулярні коливання, при додаванні яких траєкторією результуючого ру-ху є еліпс, називають еліптично поляризова-

ними. Орієнтація еліпсу і його розміри залежать від амплітуд та різниці фаз φ коливань, які додаються. Розглянемо окремі випадки, які мають фізичний інтерес.

1) Якщо φ=πm, (де m=0,±1,±2,…), то еліпс вироджується у відрізок прямої, рівня-

ння якої: де знак плюс відповідає нулю та парним значенням m, а знак мінус - непарним значенням m. Результуюче коливання є гармоніч-

ним із частотою ω та амплітудою , яке здійснюється вздовж прямої, яка

складає із віссю х кут: В цьому випадку коливання називають лінійно поляризованими.

2) Якщо (де m=0,±1,±2,…), то рівняння набуде вигляду:

Це рівняння еліпсу, осі якого співпадають із осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам. Крім того, якщо А=В, то цей еліпс вироджується у коло. Такі коливання нази-

вають циркулярно поляризованими або поляризованими по колу.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань, які додаються, відрізняються, то замкнута траєкторія результуючого коливання досить складна. Замкнуті траєкторії, які прописує точка, що здійснює одночасно два взаємно перпендикулярних коливання, називаються фігурами Ліссажу. Вид таких кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, які додаються. Відношення частот таких коливань дорівнює відношенню кількості перетинань фігури Ліссажу із прямими, паралельними осям координат. По виду фігури можна визначити невідому частоту за відомою. Тому аналіз фігур Ліссажу широко використовують для визначення співвідношення частот та різниці фаз коливань, які додаються, а також їхньої форми.

У реальних коливальних системах завжди присутні неконсервативні сили тертя і опору руху, тому частина механічної енергії неминуче перетворюється на внутрішню енергію (у теплоту). В результаті амплітуда вільних коливань в такій системі через втрати механічної енергії зменшуватиметься, і такі коливання називаються загасаючими. Закон загасання визначається властивостями коливальних систем. Для опису вільних затухаючих коливань пружинного маятника врахуємо, що в системі окрім сили пружності діє сила тертя (опору), яка у разі малих коливань пропорційна швидкості руху точки: F_теp=-rV. Коефіцієнт пропорційності r називається коефіцієнтом опору, а знак мінус указує, що сила опору завжди про-тилежна швидкості руху точки. В цьому випадку рівняння руху пружинного маят-

ника (другий закон Ньютона) набуває вигляду: або: Розділивши на масу тіла і ввівши позначення r/m=2 і k/m=0^2, одержимо: Тут параметр  називається коефіцієнтом загасання. Рішення такого диференціального рівняння має вигляд: Із цього рішення виходить, що амплітуда загасаю-

чих коливань зменшується із часом за експоненціальним законом:

де А0 – амплітуда коливань у початковий момент часу. Якщо у відсутності сил опору в системі циклічна частота коливань

становила ₀, то циклічна частота за гасаючих коливань  стає меншою при збільшенні коефіцієнту загасання системи і визначається співвідношенням:

Вільні затухаючі коливання не є періодичними, а тим більше гармонічними. Проте, в системі із малим коефіцієнтом загаса-

ння (якщо ₀), умовно можна використовувати поняття періоду загасаючих коливань, як проміжку часу між двома послідовними максимумами або мінімума-

ми відхилення точки: Якщо ж виявиться, що у коливальній системі опір настільки зріс, що стане виконуватись умова 0, то коливання в ній припиняються, і спостерігається аперіо-

дичний процес – плавне повернення системи до положення рівноваги.

Окрім механічних коливань – періодичних рухів тіла щодо свого положення рівноваги – у коливальному контурі можна збуджувати і підтримувати електромагнітні коливання – періодичні процеси перетворення енергії електричного поля у енергію магнітного поля, і навпаки. Коливальний контур є електричним колом, яке складається із включених послідовно котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і резистора електричним опором R. Щоб порушити коливання у такому контурі, потрібно або надати деякий заряд обкладинам конденсатора, або збудити в котушці індуктивності струм. При протіканні змінного струму через котушку, в ній індуктується електрорушійна сила самоіндукції _с, яка за законом Фа-

радея становить: (з урахуванням того, що сила струму i=dq/dt). Згідно узагальненому закону Ома, с=UR+UC, де UR=iR, UC=q/C –

падіння напруги відповідно на резисторі R і конденсаторі С. Підставивши в закон Ома відповідні вирази, матимемо:

або	Розділивши на L та ввівши по-значення R/L=2, 1/LC=0^2, перепишемо це рівняння у вигляді: Як було сказано вище, таке рі-вняння описує вільні загасаю

чі коливання електричного заряду у коливальному контурі, а рішення цього рівня-

ння має вигляд: Тут q0 – початкова амплітуда коливань заряду, а

сама амплітуда його коливань зменшується з часом за експоненціальним законом.

Циклічна частота загасаючих електромагнітних коливань становить: Хоча загасаючі коливання не є гармонічними, у разі

малого загасання (₀) умовно можна використовувати поняття періоду загаса-

ючих коливань: Якщо розглянути ідеальний коливальний контур, активний електричний опір якого відсутній (R=0), в ньому і коефіцієнт загасання =R/2L=0. У цьому ви-

падку втрати енергії на виділення джоульова тепла не відбувається, і в контурі здійснюються незгасаючі електромагнітні коливання: періодично змінюються заряд q на обкладинках конденсатора, напруга U на конденсаторі та сила струму i, який протікає через котушку індуктивності. При цьому коливання супроводжуються взаємними перетвореннями енергій електричного та магнітного полів, про-

те повна електромагнітна енергія контура зберігається: Для даного випадку диференціальне рівнян-ня коливань електричного заряду у контурі має вигляд:

Рішенням цього рівняння є гармонічна функція:

	Амплітуда коливань заряду на обкладинках конденсатора q0 не змінюється. Циклічна частота таких вільних незагасаючих електромагнітних коливань визначається співвідношенням: а їхній період можна обчислити по формулі Томсона: Напруга на конденсаторі змінюватиметься згідно із зако
		ном: Сила струму у коливальному контурі змінюватиметься згідно із законом: Очевидно, що коливання стру-

му у контурі випереджають по фазі на /2 коливання заряду (і напруги) на конденсаторі, тобто сила струму досягає максимального значення у ті моменти часу, коли заряд (і напруга) на обкладаннях конденсатора дорівнює нулю, і навпаки.

Для того, щоб у реальній коливальній системі одержати незагасаючі коливання, потрібно компенсувати в ній втрати енергії. Таку компенсацію можна забезпечити за допомогою будь-якого періодично діючого зовнішнього чинника Х(t),

що змінюється за гармонічним законом: Якщо розглядати механічні коливання, то роль такого

чинника грає зовнішня вимушуюча сила F=F₀ cos(t). В цьому випадку рівняння

руху пружинного маятника запишеться у вигляді: Розділивши на масу вантажу m і використовуючи введені раніше позначення, це співвідношення можна переписати так:

Якщо розглядати електромагнітні коливання у коливальному контурі, то роль зовнішнього чинника Х(t) грає зовнішня періодична електрорушійна сила або змінна напруга U=U₀cos(t), які підводяться до контура. Рівняння коливань заря-

ду у контурі в цьому випадку має вигляд: Розділивши на індуктивність L і використовуючи введені раніше позначення, це співвідношення можна переписати так: Коливання, які виникають під дією зовні-

шньої сили (або зовнішньої періодичної ЕРС), називаються вимушеними механічними (або електромагнітними) коливаннями. Рішення відповідних диференціальних рівнянь для вимушених коливань взагалі дорівнює сумі загального рішення однорідного рівняння і частинного рішення неоднорідного рівняння. Перше ми одержували для загасаючих коливань, і воно відіграє істотну роль тільки на початковій стадії коливального процесу (при встановленні коливань). Друге рішення описує вже сталі коливання, яке для механічних коливань має вигляд: х=Аcos(t-). Амплітуда і початкова фаза цих коливань визначаються співвідно-

шеннями: Фаза  визначає відставання вимушеного коливання від вимушуючої сили.

Для електромагнітних коливань частинне рішення неоднорідного рівняння має вигляд q=q₀cos(t-). Амплітуда та зсув по фазі між коливаннями заряду і зовні-

шньою ЕРС визначаються так: Аналіз цих виразів показує, що ам-плітуда і фаза вимушених коливань визначаються частотою вимушую-чої сили. Чим менша різниця між власною частотою коливань систе-

ми ₀ і частотою вимушуючої сили , тим більшою буде амплітуда вимушених коливань. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при прямуванні частоти вимушуючої сили до власної частоти коливань системи (₀) називається резонансом. Частоту вимушуючої сили, при якій наступає резонанс, називають резонансною частотою. Дослідивши підкорінний вираз для амплітуди ко

ливань на екстремум, нескладно одержати формулу для обчислення резонансної частоти вимушуючої сили: Підставивши це співвідношення у вираз для амплітуди вимушених коливань, одержимо формулу для резонансної амплітуди:

Із цих виразів виходить, що при зменшенні коефіцієнту загасання  резонансна частота збільшується і прямує до власної частоти ₀, і у міру цього наближення, резонансна амплітуда коливань все більше зростає, прямуючи до нескінченності при 0.

У разі електромагнітних коливань, електричним резонансом називають явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при прямуванні частоти зовнішньої ЕРС до власної частоти коливального контура (₀). Сила струму в

контурі при сталих коливаннях становить: де =(-/2) - зсув по фазі між

струмом та зовнішньою ЕРС, а амплітудне значення сили струму визначається ви-

або	разом: Очевидно, що амплітуда струму буде максимальною при умові, якщо: При цьому максимальна амплітуда сили струму складає I0=U0/R. Рівність частоти зовнішньої змінної ЕРС  і власної часто

ти коливань контура ₀ і є умовою електричного резонансу. Із аналізу залежності =f() випливає, що тільки за відсутності загасання (=0) коливання заряду в контурі співпадають по фазі із коливаннями зовнішньої прикладеної ЕРС, а у всіх інших випадках ці коливання зміщені по фазі (0). За умови електричного резонансу (=₀), незалежно від значення коефіцієнту загасання , =/2, тобто зовнішня ЕРС випереджає по фазі коливання заряду на /2 (на чверть періоду). При подальшому збільшенні частоти зовнішньої ЕРС (₀), , тобто коливання заряду стають протилежними по фазі коливанням зовнішньо ЕРС. В свою чергу, чим більший коефіцієнт загасання, тим нижче лежить максимум резонансної кривої. Явище резонансу може бути як шкідливим, так і корисним.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ІЗ РОЗДІЛУ “КОЛИВАЛЬНІ ПРОЦЕСИ”