- •5 Перевірка статистичних гіпотез щодо закону розподілення. Параметричний і непараметричний підходи
- •5.2.2 Критерій Смірнова
- •5.1 Критерій -Пірсона [2]
- •5.2 Розподіли статистик непараметричних критеріїв згоди при простих гіпотезах [3]
- •5.2.1 Критерій Колмогорова
- •5.2.2 Критерій Смірнова
- •5.2.3 Критерії
- •5.3 Втрата непараметричними критеріями згоди „свободи від розподілу” при складних гіпотезах
5.1 Критерій -Пірсона [2]
Перевірку за критерієм -Пірсона проводять для об’ємів вибірок , коли параметри математичної моделі визначені за емпіричними даними. Інтервали емпіричного та теоретичного розподілів, в яких теоретична частота , об’єднують с сусідніми інтервалами. При цьому кількість отриманих інтервалів групування може бути менше або дорівнює початковій кількості інтервалів, тобто . Спостережуване значення критерію обчислюється за формулою:
, ( ).
Кількість ступенів вільності дорівнює:
,
де - кількість параметрів математичної моделі.
Стосовно вибору рівня значимості доцільно дотримуватися наступного правила: якщо , то , а при , . Критичне значення знаходять з таблиць критичних точок. Якщо - стосовно передбачуваного закону відкидають.
5.2 Розподіли статистик непараметричних критеріїв згоди при простих гіпотезах [3]
5.2.1 Критерій Колмогорова
У разі простих гіпотез граничні розподіли статистик даних критеріїв згоди Колмогорова, Смірнова, і Мізеса відомі і не залежать від виду спостережуваного закону розподілу і, зокрема, від його параметрів. Говорять, що ці критерії є “вільними від розподілу”. Це достоїнство зумовлює широке використання даних критеріїв на практиці.
Розподіл статистики
, (5.5)
де – емпірична функція розподілу, – теоретична функція розподілу, – об'єм вибірки, було одержано Колмогоровим в [2]. При розподіл статистики сходиться рівномірно до розподілу Колмогорова:
. (5.6)
Найчастіше в критерії Колмогорова (Колмогорова-Смірнова) використовується статистика виду [3]:
, (5.7)
де
, (5.8)
, (5.9)
, (5.10)
- об'єм вибірки, - впорядковані за збільшенням вибіркові значення, - функція закону розподілу, згода з яким перевіряється. Розподіл величини при простій гіпотезі в межі підкоряється закону Колмогорова .
Якщо для обчисленого за вибіркою значення статистики виконується нерівність
,
то немає підстав для відхилення гіпотези .
5.2.2 Критерій Смірнова
У критерії Смірнова використовується статистика
(5.11)
або статистика
, (5.12)
значення яких обчислюються за еквівалентними співвідношеннями (5.9),(5.10).
Реально в критерії звичайно використовується статистика
, (5.13)
яка при простій гіпотезі в межі підкоряється розподілу з числом ступенів свободи, рівним 2.
Гіпотеза не відкидається, якщо для обчисленого за вибіркою значення статистики
.
5.2.3 Критерії
У критеріях типу відстань між гіпотетичним і істинним розподілами розглядається в квадратичній метриці.
Гіпотеза , що перевіряється, має вигляд
(5.14)
при альтернативній гіпотезі
, (5.15)
де - оператор математичного сподівання, - задана на відрізку ненегативна функція, щодо якої передбачається, що , , інтегруються на відрізку . Статистика критерію виражається співвідношенням
, (5.16)
де
, .
При виборі для критерію Мізеса одержують статистику вигляду (статистику Крамера-Мізеса-Смірнова)
, (5.17)
яка при простій гіпотезі підкоряється розподілу, що має вигляд
, (5.18)
де - модифіковані функції Бесселя,
. (5.19)
При виборі для критерію Мізеса статистика набуває вигляд (статистика Андерсона-Дарлінга)
. (5.20)
На межі ця статистика підкоряється розподілу, що має вигляд
. (5.21)
Гіпотези про згоду не відкидаються, якщо виконуються нерівності
і .