©
В. М.Сидоренко, 2009
09.12.09
Лекція №6
6 Перевірка статистичних гіпотез щодо параметрів розподілення
6.1 Перевірка гіпотез щодо дисперсії при нормальному розподіленні
6.2 Перевірка гіпотез щодо рівності двох дисперсій
6.3Перевірка гіпотез щодо математичного сподівання при нормальному законі розподілення й невідомій дисперсії
6.4 Перевірка гіпотез про однорідність дисперсій
6.5 Перевірка гіпотез щодо рівності математичних сподівань двох нормально розподілених випадкових величин
6.5.1 Випадок непов’язаних(незалежних) вибірок
6.5.2 Випадок пов’язаних(залежних) вибірок
6.6 Стійкість (робастність критеріїв)
6.6.1
Критерій Стьюдента (
кртерій)
6.6.2
Критерій Фішера (
критерій).
Модифікований
критерій
(критерій Бокса-Андерсена)
6.1 Перевірка гіпотез щодо дисперсії при нормальному розподіленні Зауваження. Використовується при аналізі точності й стабільності технологічних процесів, вимірювальних пристроїв, тощо.
1.
-
задана наперед,
-
може бути невідомою.
Критерій:
,
- об’єм вибірки.
-
розподілення з
ступенями свободи.
Критична
область одностороння й обмежена зліва,
тобто визначається з умови.
.
2.
Критична
область двостороння і визначається
рівностями
;
3.
. Відрізняється від п.1 тим, що маєто
просту фіксовану гіпотезу, що дає змогу
визначити потужність критерію
(рис.
5.4) [1].
Рис.
6.4 Ймовірність помилки першого
та другого
роду при перевірці гіпотези про дисперсію
нормально розподіленої генеральної
сукупності (до п.3).
6.2 Перевірка гіпотези щодо рівності двох дисперсій
Зауваження.
Застосовують при порівнянні точності
вимірювання якого-небудь числового
показника у двох групах, що тестуються.
Нехай є дві вибірки об’ємом
та
з двох нормальних сукупностей.
Критерій:
ступенями вільності.
Критична
область одностороння, значить
- відкидаємо.
6.3 Перевірка гіпотези щодо математичного сподівання при нормальному законі розподілення й невідомій дисперсії
Нехай
дано вибірку
,
де
,
.
Альтернативна гіпотеза складна.
Критерій:
.
Критична область двостороння й
визначається нерівністю:
-
з таблиць.
Якщо
.
У
випадку простої альтернативної гіпотези
можливо
визначити потужність критерію і дослідити
взаємозв’язок похибок першого і другого
роду [1].
6.4 Перевірка гіпотези про однорідність дисперсій
Нехай
дано
серій незалежних спостережень, які
являють собою вибірки з нормальних
сукупностей, з математичними очікуваннями
й дисперсіями
,
- відповідні об’єми вибірок.
При
рівних об’ємах вибірок
краще використовувати критерії Кохрена
(Кочрена, Кокрена):
-
розподілення Кохрена.
-
за таблицями (наприклад, [2,3]).
Якщо
,
то
відкидають.
Зауваження.
Перевага критерію Кохрена – простота,
недолік – нечутливість до
.
Зауваження. У випадку нерівної кількості спостережень використовують критерій Бартлетта (див., наприклад, [2,3]).