© В. М.Сидоренко, 2009

15.09.09

Лекції 2-3

2. Точні вибіркові розподіли. Точкові і інтервальні оцінки

2.1. Розподіл (Лекція 2)

2.2. Розподіл Стьюдента

2.3. Розподіл Фішера

3. Статистичні оцінки

3.1. Точкові оцінки

3.1.1. Методи точкового оцінювання

3.1.1.1. Метод моментів

3.1.1.2. Метод максимальної правдоподібності

3.1.2 Нерівність Крамера-Рао*

3.2. Оцінки параметрів деяких розподілів

3.2.1. Оцінки параметрів нормального розподілу

3.2.2. Оцінки параметрів засміченого нормального розподілу

3.2.3. Оцінки параметрів рівномірного розподілу

3.2.4. Оцінки параметрів логарифмічно нормального розподілу

3.2.5. Оцінка параметра нормального розподілу

3.2.6. Оцінка параметрів розподілу Коші

3.2.7. Оцінка параметрів біноміального розподілу

3.2.8. Оцінка параметрів пуассонівського розподілу

3.2.9. Оцінка гіпергеометричного розподілу

3.3. Інтервальні оцінки(Лекція 3)

3.3.1. Інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу

3.3.2. Інтервальні оцінки експоненціального розподілу

3.3.3. Інтервальні оцінки рівномірного розподілу

3.3.4 Випадок логарифмічно нормального розподілу

3.3.5.Випадок довільного розподілу

Література

2.1. Розподіл

Визначення 8. Нехай - незалежні нормально розподілені ВВ з параметрами (0;1). Тоді ВВ має розподіл з степенями свободи, що позначається як .

Щільність ймовірності:

, де - гамма-функція.

Числові характеристики.

Застосовується: при побудові довірчих інтервалів і перевірці статистичних гіпотез.

2.2. Розподіл Стьюдента

Визначення 9. Нехай ξ і – незалежні випадкові величини, причому . Тоді ВВ має розподіл Стьюдента (t–розподіл) з ступенями свободи, що позначається як .

Щільність ймовірності:

Зауваження 6. Можна показати, що при щільність ймовірності ВВ збігається до щільності стандартного нормального розподілу , тобто

,

При розподіл Стьюдента практично не відрізняється від

,

Застосовується: При побудові довірчих інтервалів і перевірці статистичних гіпотез.

2.3. Розподіл Фішера

Визначення 10. Нехай і має розподіл з та ступенями свободи відповідно. Тоді ВВ має розподіл Фішера (F-розподіл) з та ступенями свободи, що записується як .

Щільність ймовірності.

Числові характеристики:

3.Статистичні оцінки

Постановка задачі оцінювання параметрів розподілу:

Існує реалізація (вибірка) випадкової величини з розподілом . Вид розподілу відомий. Необхідно оцінити параметр за інформацією, яку несе в собі вибірка. Ніякої іншої інформації не існує.

Визначення 11. Нехай існує вибірка . Точковою оцінкою невідомого параметра називається число (функція) , причому - випадкова величина, - постійне число.

Зауваження 7. Важливо вміти відповідати на питання: на скільки велика величина ? Які оцінки найкращі?

Визначення 12. Оцінка є незсуненою, якщо .

Визначення 13. Оцінка є асимптотично незсуненою, якщо .

Визначення 14. Оцінка є обґрунтованою, якщо

або

Визначення 15. Оцінка називається ефективною, якщо вона має мінімальну можливу дисперсію при заданому об'ємі вибірки .

Зауваження 8. Задача точкового оцінювання полягає в пошуку незсунених, обґрунтованих і ефективних оцінок.