- •6 Перевірка статистичних гіпотез щодо параметрів розподілення
- •6.1 Перевірка гіпотез щодо дисперсії при нормальному розподіленні Зауваження. Використовується при аналізі точності й стабільності технологічних процесів, вимірювальних пристроїв, тощо.
- •6.2 Перевірка гіпотези щодо рівності двох дисперсій
- •6.3 Перевірка гіпотези щодо математичного сподівання при нормальному законі розподілення й невідомій дисперсії
- •6.4 Перевірка гіпотези про однорідність дисперсій
- •6.5 Гіпотеза щодо рівності математичних сподівань двох нормально розподілених випадкових величин
- •6.5.1 Випадок непов’язаних(незалежних) вибірок
- •6.5.2 Випадок пов’язаних(залежних) вибірок[2,3]
- •6.6.1 Критерій Стьюдента ( кртерій)
- •6.6.2 Критерій Фішера ( критерій). Модифікований критерій (критерій Бокса-Андерсена)
6.5.1 Випадок непов’язаних(незалежних) вибірок
Нехай є дві незалежні вибірки та , які взято з нормальної сукупності з дисперсіями та . Перевірить нульову гіпотезу , де й - математичні сподівання відповідних генеральних сукупностей.
1 випадок:
Тому що , апріорі, як правило, невідомі, то перш ніж перевірять гіпотезу з початку перевіряють гіпотезу про рівність дисперсій , якщо ця гіпотеза не відкинута, тоді переходимо до перевірки гіпотези:
.
Критерій:
, де , (7.0)
-розподілення Стьюдента з ступенів свободи. Критична область – двостороння.
Якщо , то гіпотезу відкидають.
2 випадок. Дисперсії , усе так як у першому випадку, але , де .
6.5.2 Випадок пов’язаних(залежних) вибірок[2,3]
Нехай дві генеральні сукупності та розподілені нормально, при чому і невідомі. Маємо дві пов’язані(залежні) вибірки , відповідно з першої та другої генеральної сукупності.
Нульову та альтернативну гіпотези можна сформулювати відповідно як
,
або
.
Введемо величину , . Тоді ,
- стандартне відхилення значень різниць .
, .
Таким чином, спостережуване значення статистичного критерію обчислюється за формулою .
За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента знаходимо двостороннє критичне значення .
Якщо - немає підстав відхилити .
Якщо - відхиляється.
6.6 Стійкість (робастність) критеріїв* [1]
При використанні розглянутих вище параметричних критеріїв Стьюдента, , та критерія Фішера, повинна виконуватись умова нормального розподілу вибіркових даних. При порушенні цієї вимоги одні критерії зберігають свою працездатність, тобто, ймовірності та при їх використанні залишаються майже такими, я к і при нормальному розподілі, а інші її втрачають.
Визначення 37. Критерії, що зберігають свою працездатність при порушенні вимоги нормального розподілу вибіркових даних називаються робастними (стійкими).
Зауваження. Непараметричні критерії (Колмогорова-Смірнова, Вілкоксона та ін.) мають більшу стійкість, натомість, їх потужність менше,ніж у параметричних. У той же час параметричні критерії (Стьюдента, , та критерій) мають більшу потужність, але не є робастними. Таким чином, доцільне використання одночасно низки як параметричних, так і непараметричних критеріїв при вирішенні певної задачі, якщо це можливо. Саме такий підхід реалізовано в програмних універсальних статистичних пакетах.
Зауваження. Часто має місце ситуація, коли один і той же критерій є стійкім при перевірці певної нульової гіпотези і не є стійким при перевірці іншої. Типовий приклад: критерій при перевірці нульової гіпотези щодо законів розподілу є робастним, тобто веде себе як непараметричний, а при перевірці гіпотези щодо дисперсії випадкової величини, яка вивчається, він не є стійким. Тому коректніше говорити не про робастність певного статистичного критерію, а про робастність певної статистичної процедури (критерій+гіпотеза, що перевіряється).
Розглянемо робастність кожного з наведених вище параметричних критеріїв.